2018-2019学年北师大版高中数学选修4-4同步配套（课件+练习）：1.3 柱坐标系和球坐标系(2份打包)

§3　柱坐标系和球坐标系 课时过关·能力提升 1.若点M的直角坐标为(-1,-,2),则它的柱坐标是 (　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　[来源:Zxxk.Com] A. B. C. D. 解析:设点M的柱坐标为(r,θ,z), 则tan θ=. 因为0≤θ<2π,x<0, 所以θ=,r==2,z=2. 所以点M的柱坐标为. 答案:B 2.若点P的直角坐标为(-1,-1,),则它的球坐标为 (　　). A. B. C. D. 解析:设点P的球坐标为(r,φ,θ),则有tan θ==1. 因为0≤θ<2π,x<0, 所以θ=,r==2. 所以=rcos φ⇒cos φ=. 因为0≤φ≤π,所以φ=. 所以点P的球坐标为. 答案:B 3. 以地球中心为坐标原点,赤道所在平面为xOy平面,由原点指向北极的方向为z轴的正方向,本初子午线所在的平面为zOx坐标平面,如图所示.某地在西经60°,南纬45°,地球的半径为R,则该地的球坐标可以表示为(　　). A. B. C. D. 解析:根据地球经、纬度的定义及球坐标的定义可得. 答案:C 4.已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,则这两个点在空间直角坐标系中的直角坐标为(　　). A.点P(5,1,1),点B B.点P(1,1,5),点B C.点P,点B(1,1,5) D.点P(1,1,5),点B 解析:设点P的直角坐标为(x,y,z),则 x=cos =1,y=sin =1,z=5. 即点P的空间直角坐标为(1,1,5). 设点B的直角坐标为(x,y,z), 则x=sin cos , y=sin sin ,z=cos , 即点B的空间直角坐标为. 答案:B 5.在柱坐标系中,已知A,B及O(0,0,0)三点,则△ABO的面积为　　　　　.  解析:因为A,B,O(0,0,0), 所以△OAB为直角三角形. 所以S△OAB=|OA||AB|=×1×2=1. 答案:1 6.已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为　　　　　.  解析:设点M的直角坐标为(x,y,z). ∵(r,φ,θ)=, ∴ ∴点M的直角坐标为(-2,2,2), 点M到Oz轴的距离为=2. 答案:2 7.已知点P1的球坐标是,点P2的柱坐标为,则|P1P2|2=　　　　　.  解析:设点P1的直角坐标为(x,y,z), 则x=rsin φcos θ=2sincos =2, y=rsin φsin θ=2sinsin, z=rcos φ=2cos. 所以P1. 由点P2的柱坐标为可得点P2的直角坐标为. 所以|P1P2|2= = =18--2. 答案:18--2 ★8.在柱坐标系中,长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D在原点,另两个顶点坐标分别为A1(8,0,10),C1,则此长方体的外接球的体积为　　　　　.  解析:由题意知长方体中的|DA|=8,|DC|=6,|DD1|=10,所以外接球的直径为10,半径为5.故所求的体积为×(5)3=. 答案: 9.用两个平行平面去截球,在两个截面圆上有两个点,它们分别为A,B,求出这两个截面间的距离. 解如图所示,由题意可知,O1O2即为两个截面间的距离. 因为|OA|=|OB|=8,∠AOO1=,∠BOO1=, 所以在△AOO1中,|OO1|=|OA|cos=4. 在△BOO2中,|OO2|=|OB|cos=4. 则|O1O2|=|OO1|+|OO2|=4+4=8, 即两个截面间的距离为8. 10.在直三棱柱ABC - A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA1|=2,M是A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的直角坐标和柱坐标. 解建立如图所示的坐标系,过点M作底面xCy的垂线MN. 因为ABC - A1B1C1是直三棱柱,所以点N在线段AB上. 由点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知,可得△ABC是等腰直角三角形,所以|NE|=|NF|=. 故点M的直角坐标为. 由于点M在平面xCy上的射影为点N, |CN|=,∠ECN=, 故点M的柱坐标为. 11.如图所示,在长方体OABC-D'A'B'C'中,|OA|=3,|OC|=3,|OD'|=2,A'C'与B'D'相交于点P,分别写出点C,B',P的柱坐标. [来源:学科网] 解∵∠AOC=,|OC|=3, ∴点C的柱坐标为. ∵|OB|==3,|BB'|=2,∠AOB=, ∴点B'的柱坐标为. 同理,点P的柱坐标为.[来源:学_科_网] ★12.如图所示,在柱坐标系中,O(0,0,4),A(3,θA,4),B1(3,,0),其中θA-=60°,求直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角和AB1的长. 解如图所示,连接O1B1,作OB∥O1B1,交上底圆周于点B,连接AB,BB1,