专题05 三角函数模型的应用-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（六）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析 05三角函数模型的应用 技巧规律：解答三角函数应用问题的基本步骤 1．审题：审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际问题的类型。 2．建模：在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将题中的非数学语言转化为数学语言， 3．解模：运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决． 小贴士：三角函数与我们的日常生活和生产实践密切相关，在测量、计算与角有关的问题中有广泛的应用，首先要深刻理解、准确把握题目中的条件，把以上类型搞清楚，由此初步掌握解决三角函数模型应用题的基本方法，为逐步提高解答应用题的能力打下良好的基础． 易错提醒： 有些应用问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件． 情景引入：如图所示，某市拟在长为8km道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）（x∈[0，4]）的图象，且图象的最高点为S（3，2 ），赛道的后一部分为折线段MNP，如何求M、P两点间的直线距离。 分析：由题意结合图象求得A和T，进一步求出ω，则函数解析式可求，代入M的横坐标求得的坐标，由两点间的距离公式求得MP的值； 解：依题意，有A= ，又 ，T=12，∴ω= ， ∴y= ，当x=4时， ． ∴M（4，3），又P（8，0），∴MP= ； 应用一：水轮转动中的三角函数模型 例1.一半径为2 米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮按逆时针方向旋转，每分钟转动5圈，现在当水轮上点P从水中浮现时，（图中点P0）开始计时，试探究： （1）OP旋转的角速度ω是多少（单位：弧度/秒） （2）建立如图所示的直角坐标系，设嗲P距离水面的高度z（米）与时间t（秒）的函数关系为z=f（t）=Asin（ωx+φ）+2，其中A＞0，而φ（﹣ ＜φ＜0）是以Ox为始边，OP0为终边的角，请写出函数f（t）的解析式 （3）点P第二次到达最高点需要的时间是多少秒？ 【分析】（1）由题意可得，OP旋转的角速度ω，计算可得速度ω． （2）由条件可得f（t）的解析式，把点（0，0）代入可得φ 的值，可得f（t）的解析式． （3）令 z=f（t）=2 +2，求得t的值．再根据水轮转一周需要 秒，求得点P第二次到达最高点需要的时间． 解：（1）由题意可得，OP旋转的角速度ω== （弧度/秒）．[来源:学+科+网Z+X+X+K] （2）易得A=2 ，∴z=f（t）=2 sin（ t+φ）+2，把点（0，0）代入可得sinφ=﹣ ． 结合﹣ ＜φ＜0，可得φ=﹣ ，∴z=f（t）=2 sin（ t﹣ ）+2． （3）令 z=f（t）=2 sin（ t﹣ ）+2=2 +2，求得 t﹣ = ，∴t=4.5（秒）． 再根据水轮转一周需要 =12秒，故点P第二次到达最高点需要的时间是4.5+12=16.5秒． 【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，属于中档题． 应用二：航行中的函数模型问题 例2. （2018•安溪县校级期末）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b （1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式； （2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？ 【分析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出b和A；再借助于相隔9小时达到一次最大值说明周期为12求出ω即可求出y=f（t）的解析式； （2）把船舶安全转化为深度f（t）≥11.5，再解关于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港． 解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7， ∴ ；且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12， 因此 ， ，故 （2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即 ∴ ， ，解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z 又0≤t≤24 当k=0时，1≤t≤5； 当k=1时，13≤t≤17； 故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）． 【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．再通过三角函数不等式解决问题，需要数形结合思想快速求解。 应用三