40.新定义问题-【满分思维】2026年五年高考真题分类汇编·数学

40.新定义问题

1.（多选）（2024·新高考Ⅰ卷11题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（　　）

A.a＝－2

B.点（2，0）在C上

C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.当点（x0，y0）在C上时，y0≤

解析：ABD　对于A：设曲线上的动点P（x，y），则x＞－2且×｜x－a｜＝4，因为曲线过坐标原点，故×｜0－a｜＝4，解得a＝－2，故A正确.对于B：又曲线方程为×｜x＋2｜＝4，而x＞－2，故×（x＋2）＝4.当x＝2，y＝0时，×（2＋2）＝8－4＝4，故（2，0）在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2＝－（x－2）2，取x＝，则y2＝－，而－－1＝－＝＞0，故此时y2＞1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点（x0，y0）在曲线上时，由C的分析可得＝－（x0－2）2≤，故－≤y0≤，故D正确.故选A、B、D.

2.（2024·北京高考21题）已知集合M＝{（i，j，k，w）｜i∈{1，2}，j∈{3，4}，k∈{5，6}，w∈{7，8}，且i＋j＋k＋w为偶数}.给定数列A：a1，a2，…，a8和序列Ω：T1，T2，…，Ts，其中Tt＝（it，jt，kt，wt）∈M（t＝1，2，…，s），对数列A进行如下变换：将A的第i1，j1，k1，w1项均加1，其余项不变，得到的数列记作T1（A）；将T1（A）的第i2，j2，k2，w2项均加1，其余项不变，得到的数列记作T2T1（A）；……；以此类推，得到数列Ts…T2T1（A），简记为Ω（A）.

（1）给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），写出Ω（A）；

（2）是否存在序列Ω，使得Ω（A）为a1＋2，a2＋6，a3＋4，a4＋2，a5＋8，a6＋2，a7＋4，a8＋4？若存在，写出一个Ω，若不存在，说明理由；

（3）若数列A的各项均为正整数，且a1＋a3＋a5＋a7为偶数，求证：“存在序列Ω，使得Ω（A）的各项都相等”的充要条件为“a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝a7＋a8”.

解：（1）Ω（A）：3，4，4，5，8，4，3，10.

（2）不存在.理由如下：

若存在Ω，则a1，a2与a3，a4增加值之和应该相等，注意到a1，a2一共增加了8，而a3，a4一共增加了6，从而不存在符合题意的Ω.

（3）证明：因为存在序列Ω，使得a1＝a2＝…＝a8，

所以a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝a7＋a8.

又每次进行变换时，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8均增加1，

故经过n（n∈N*）次变换后，a1＋a2＋n＝a3＋a4＋n＝a5＋a6＋n＝a7＋a8＋n，可得a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝a7＋a8恒成立.

如果a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝a7＋a8，

且还有a1－a2＝a3－a4＝a5－a6＝a7－a8＝0，

则有a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝a6＝a7＝a8，即Ω（A）为常数列，

由于每次变换后均有a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝a7＋a8，

故我们只需证明可在某一步变换后有a1－a2＝a3－a4＝a5－a6＝a7－a8＝0.

设（S1，S2，S3，S4）＝（a1－a2，a3－a4，a5－a6，a7－a8），

从而（S1，S2，S3，S4）在每次变换后相当于在偶数个位置上加1，其余减1，

由a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝a7＋a8，可得初始情况下S1，S2，S3，S4同时为奇数或同时为偶数.

不妨设为偶，则a1＋a3＋a5＋a7为偶，所以S1＋S2＋S3＋S4为4的倍数，且在变换后仍同时为奇数或同时为偶数，且和为4的倍数.

经过若干次变换后，不妨设max｜Si｜达到最小值，且取max｜Si｜的Si最小，

不妨设成｜S1｜且S1＞0.

当S1≥2时，

①假设还有｜S2｜≥2.