专题03 随机变量及其分布列（6大考点期末真题汇编，吉林内蒙古专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦随机变量及其分布列专题，整合吉林、内蒙古多地区期末试题，覆盖6大高频考点，通过体育活动、产品质量等真实情境设计问题，体现基础巩固与能力提升的梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|12题|条件概率、二项分布、正态分布|以打球游泳、产品合格率等情境考查基础概念| |解答题|10题|分布列与期望、超几何分布、随机变量与数列|结合摸球游戏、考试得分等设计综合题，梯度分明|

专题03 随机变量及其分布列 6大高频考点概览 考点01条件概率与全概率公式 考点02离散型随机变量的分布列 考点03两点分布/二项分布 考点04超几何分布 考点05正态分布 考点06随机变量与数列 地 城 考点01 条件概率与全概率公式 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 2．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是.则这种产品的一级品率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】设事件为合格品，事件为一级品，则，，则. 故选：A. 3．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)，两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且，两种品牌的钢笔的次品率分别为和．若市场上这种型号钢笔的次品率为，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用全概率公式计算直接得出结果. 【详解】设从市场上任取一支该种型号钢笔，它是次品为事件A， 则，解得，故B正确. 故选：B. 4．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)某疾病在人群中的患病率为，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为，阴性人群被检测为阳性的概率为，则一个人检测结果为阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】用事件表示一个人患此种疾病，用事件表示检测结果为阳性， 则，， 所以 ． 故选：B. 5．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)抛掷两枚质地均匀的骰子，两个点数都出现偶数的概率和已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率分别是（    ） A．都是 B．都是 C．和 D．和 【答案】C 【分析】写出两个点数都出现偶数的基本事件，计算求解即可；利用条件概率计算公式求解即可. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件的总数为， 两个点数都出现偶数的基本事件为，，，，，，，，共个，所以概率为； 记第一枚骰子的点数是偶数为事件，第二枚骰子的点数是偶数为事件， 所以， 由两个点数都出现偶数的概率为，所以， 所以. 故选：. 二、多选题 6．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)（多选）一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由独立事件与条件概率的概率公式计算判断即可. 【详解】由题意，， 因为在“第一次取得黑球”的前提条件下，盒子中还有2个黑球，4个白球，共6个球， 所以,, 因为在“第一次取得白球”的前提条件下，盒子中还有3个黑球，3个白球，共6个球， 所以, 第一次取得黑球，第二次取得黑球的概率为：， 第一次取得黑球，第二次取得白球的概率为：，故A错误； 第一次取得白球，第二次取得黑球的概率为：， 第一次取得白球，第二次取得白球的概率为：， 第二次取得黑球的概率为， 第二次取得白球的概率为， 所以，故B正确； ，， 故，故C正确； ，，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 7．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)某学校有、两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐，如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为______． 【答案】 【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去，餐厅的概率，继而可求第3天去餐厅用餐的概率. 【详解】设表示事件：第天去餐厅，表示事件：第天去餐厅， 则， 则， 故， , 则 故答案为：. 8．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)已知两个随机事件，，若，，，则________． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 9．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．    【答案】 【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 地 城 考点02 离散型随机变量的分布列 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 二、解答题 2．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： （1）李明在一年内参加考试次数X的分布列； （2）李明在一年内领到资格证书的概率． 【答案】（1）分布列见解析；（2） 【分析】（1）的取值分别为1，2，3，分别求出，，，由此能求出李明参加考试次数的分布列 （2）由已知条件，利用对立事件的概率计算能求出李明在一年内领到资格证书的概率． 【详解】解：（1）的取值分别为1，2，3． ，， 所以李明参加考试次数的分布列为： 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 （2）李明在一年内领到资格证书的概率为： 3．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 【答案】(1)分布列见解析 (2)乙班目测的数据更接近教科书的真实长度，理由见解析 【分析】（1）通过题干已知概率即可列出随机变量、的分布列； （2）先计算两个班的期望，可反应平均误差，如果期望一样，再计算方差比较大小即可. 【详解】（1）根据已知条件，的分布列是： 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 的分布列是： 0 1 2 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 （2）直观观察的分布离散程度较大，所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 由（1）知，，， ，， 即要通过两个班数据的方差比较，说明哪个班更接近教科书的真实长度． 所以，， ， 则，故乙班的情况波动情况小， 所以，乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 4．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立事件乘法概率公式求解即可. （2）结合组合数及对立事件概率公式，根据独立事件乘法概率公式求解即可. （3）求出及随机变量的取值，利用条件概率分别求出对应的概率，进而求解分布列，代入数学期望公式求解即可. 【详解】（1）表示连续取球3次且3次都取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （2）表示连续取球4次，且前3次中有2次取到红球，第4次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （3）表示连续取球5次，且前4次中有2次取到红球，第5次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． 由题意随机变量可取， 根据条件概率可得， ， 则的分布列为 3 4 5 所以． 5．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为，三步篮投中的概率为，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次. （1）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （2）求该同学的总得分X的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析，3.1分. 【分析】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C，根据独立事件乘法原理可求得答案； （2）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出随机变量取每一个值的概率，得出随机变量的分布列，从而再由数学期望公式可求得答案. 【详解】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C， 则， 所以； （2）X的可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 故， 则该同学得分的数学期望是3.1分. 地 城 考点03 两点分布/二项分布 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是，由此可求得选项. 【详解】因为1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是， 所以2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为， 故选：C. 二、填空题 2．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则________． 【答案】/0.1875 【分析】首先列出随机变量，再求解分布列，最后求数学期望和方差. 【详解】由条可知，，，， 则， . 故答案为： 3．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)已知随机变量满足，若，则期望______． 【答案】1 【分析】由二项分布概率公式求得，再根据二项分布的数学期望公式求值即可. 【详解】， 因为，所以，故. 故答案为： 4．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)某校高一新生组织数学竞赛选拔测试，一共30道试题，规定答对一题得5分，答错一题扣2分．已知小明同学每道题答对的概率为0.8，每道题答对与否互相独立，则小明同学总得分的均值为______． 【答案】 【分析】设事件A为“小明同学答对试题”，用表示事件A发生的次数，得到，设小明同学总得分为，则．利用期望的性质得到. 【详解】设事件A为“小明同学答对试题”，则， 用表示事件A发生的次数，则． 设小明同学总得分为，则． 因为，所以． 故答案为：108 5．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)某校有10名同学进入“一带一路”知识竞赛的半决赛环节，半决赛设置三道题目，选手按的顺序回答题目，只要答对2道题目，即可进入决赛，若每位选手答对、题目的概率分别为，且每道题目答对与否互不影响.设人进入决赛的概率为，当取得最大值时，________. 【答案】7 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的概率公式写出的表达式，列出不等式组，结合组合数的阶乘公式进行求解即可. 【详解】每位同学进入总决赛的概率为， 设表示人进人总决赛，则， 则. 当取得最大值时， 需满足 解得：，又，所以当取得最大值时，. 故答案为：7 三、解答题 6．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和． (1)估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)用频率估计概率，从这批种子（总数远大于）中选取粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发相互独立）． 【答案】(1) (2)分布列： 0 1 2 数学期望为 【分析】（1）求出每组的中点值然后即可求解. （2）根据题意从这批种子中选取粒在自然情况下种植萌发的种子数符合二项分布，从而可求出分布列，求出期望值. 【详解】（1）估计种子密度的平均值为； （2）由频率分布直方图知优种占比为， 任选一粒种子萌发的概率． 因为这批种子总数远大于2，所以萌发的种子数符合二项分布， 所以可取的值为，，， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以期望， 故期望值为. 7．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中. (1)若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和二项分布的概率公式求解即可； （2）该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，进而结合二项分布求解，根据独立事件的乘法公式求解的分布列及其期望，进而结合题意求解. 【详解】（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙 大学恰好通过一门笔试科目”为事件， 根据题意可得， （2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为， 根据题意可知，，所以，， ， ， . 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 ， 若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有， 所以，又因为，所以， 所以，的取值范围是. 8．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． (1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 【答案】(1)或； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据独立性乘法公式得到方程，解出即可； （2）根据二项分布的 均值和期望公式得到，最后根据二次函数性质即可得到答案； （3）对消费金额进行合理分段讨论即可. 【详解】（1）甲的消费金额为210元，选择方案二可进行两次抽奖， 则抽到14元代金券的概率为，解得或. （2）设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以． . 当时，取得最大值，所以． （3）①当消费金额（单位：元）在内时，不能参与方案二，只能选择方案一． 由（2）可得，当时，． 设消费金额为， 方案一的代金券的数学期望为． ②当消费金额（单位：元）在或或或或内时， ，选择方案二． ③当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，，选择方案一、方案二都可以． ④当消费金额（单位：元）在或或或内时，，选择方案一． 综上，当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案二； 当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，选择方案一、方案二都可以． 9．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. (1)设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； (2)若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； (3)已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 【答案】(1)2 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）应用二项分布计算数学期望即可； （2）结合二项分布的数学期望及数学期望的性质计算求解； （3）列出对应概率后根据3和的大小关系分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意，得，所以，即的数学期望为2. （2）由题意，对于单选题，乙同学每个单选题做对的概率为，对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为. 设乙同学做对单选题的个数为，多选题得3分的个数为，则，， 所以，. 又此次考试中乙同学选择题的得分为， 所以. （3）对于每一道多选题，甲同学每个题只能判断出有一个选项是正确的，先把这个正确选项选上，如果甲同学不继续选其他选项，肯定能得3分；如果甲同学继续选其他选项的话，设此题的最终得分为，则的所有可能取值为0，6， 所以的分布列为 0 6 所以此题的得分期望是， 所以我们只需要比较3和的大小关系即可， 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部选2个选项； 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样，所以甲同学每道多选题选择1个选项或2个选项都可以； 当，即时，此时每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部只选1个选项. 10．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii），，； (2)，理由见解析. 【分析】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小； （2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可. 【详解】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则 ， 故， 由（i）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 地 城 考点04 超几何分布 一、单选题 1．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 二、多选题 2．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)（多选）一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（    ） A．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布 B．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布 C．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为 D．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为 【答案】ABD 【分析】直接利用二项分布和超几何分布的应用，排列数和组合数的应用直接判断. 【详解】对A，取出白球和取出黑球的概率分别为和，符合二项分布，故A正确； 对B，一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数的分布列，符合超几何分布，故B正确； 对C，一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为，故C错误； 对D，取出的白球为3和4，故，故D正确. 故选：ABD. 3．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)（多选）下列说法正确的有（   ） A．某学校有2025名学生，其中男生1013人，女生1012人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 B．若随机变量的均值，则 C．若随机变量的方差，则 D．随机变量，则 【答案】ABD 【分析】根据超几何分布判断A，应用数学期望及方差性质计算判断B，C，应用二项分布计算概率判断D. 【详解】A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：因为，所以， ， 根据组合数的对称性可知，故D正确， 故选:ABD． 三、解答题 4．(24-25高二下·吉林长春十一高中·)甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是. (1)求m的值； (2)若不掷骰子，直接从甲箱摸出2个球，记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为1. 【分析】（1）首先求出掷一枚骰子，点数为1或2的概率和点数为3、4、5、6的概率，然后根据掷一枚骰子后摸出的球都是红球的概率是这一条件求出的值. （2）首先确定的可能取值，然后针对每个取值求对应的概率，然后列出分布列，最后利用数学期望公式求出期望值. 【详解】（1）由题意可知，掷一枚骰子，点数为1或2的概率为，点数为3、4、5、6的概率为. 由于掷一枚骰子后摸出的球都是红球的概率是， 则，化简得， 解得或者（舍去）. 所以. （2）由题意可知，随机变量可能取值为0，1，2. 则； ； . 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 5．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)为了研究高中学生平时的数学成缆和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取100名学生进行调查统计．数据如下： 整理数学错题习惯 数学成绩 合计 优秀 非优秀 有 20 30 50 没有 10 40 50 合计 30 70 100 (1)依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； (2)在调查统计有整理数学错题集习惯的50名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取5人组建研讨小组，再从5人研讨小组中随机抽取3人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关； (2)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）先求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论即可； （2）由已知5人中有2人优秀，3人非优秀，则并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【详解】（1）零假设：数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关联 由题设， 故依据小概率值的独立性检验，不能认为零假设成立， 故认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； （2）由分层抽样的等比例性质，5人中有2人优秀，3人非优秀， 所以优秀学生人数，且，，， 故分布列如下， 0 1 2 则. 6．(24-25高二下·吉林白城第一中学·期末)某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下： 品牌代号 1 2 3 4 5 6 7 促销活动经费 1 2 4 6 10 13 20 销售额 12 20 44 40 56 60 82 若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”． (1)从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率； (2)从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【分析】（1）先计算分析“有效促销”和“过度促销”品牌个数，然后根据排列组合知识列出基本事件总数以及所求问题的事件数，计算比值即可； （2）由（1）可知“有效促销”的品牌数，得出随机变量的取值，再求相应的概率即可求出分布列和数学期望. 【详解】（1）根据题意计算得，7个品牌中“有效促销”的品牌是1，2，3号品牌，共有3个，“过度促销”的品牌是6，7号品牌，共有2个． 设“取出的4个品牌中‘有效促销’ 的个数比‘过度促销’的个数多”为事件， 则． （2）由（1）知，7个品牌中有3个品牌是“有效促销”，所以的可能取值是0，1，2，3， 因为，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 7．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 (1)完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？ (2)按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关联； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得到结论； （2）根据已知的可能取值为0，1，2，3，4，5，应用超几何分布的概率公式求对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【详解】（1）列联表如下： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 145 105 250 每天使用时长低于2小时 30 120 150 合计 175 225 400 零假设：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联． 因为， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001． （2）由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取人， 在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取人． 所以的可能取值为0，1，2，3，4，5， 所以， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以. 地 城 考点05 正态分布 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质直接求解即可. 【详解】由，得， 故． 故选：B 2．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（   ） A．1600 B．1800 C．2100 D．2700 【答案】D 【分析】应用正态分布性质及对应概率计算求解. 【详解】由题设，若X表示数学考试成绩，则，而， 所以，故参加本次联考的总人数约为． 故选:D． 3．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，（    ） A．0.1359 B．0.01587 C．0.0214 D．0.01341 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性可求得，从而可得，再根据三段区间法即可求解. 【详解】根据题意在上单调递减，可得，故，，， 所以 . 故选：C. 4．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（    ） 附：若随机变量，则，， A．0.1359 B．0.7282 C．0.8641 D．0.93205 【答案】A 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性，可求出阴影部分的面积， 【详解】根据题意，随机变量满足正态分布， 得，，则对称轴为，且， 根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积 ． 故选：A 5．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③，根据期望与方差的性质判断④； 【详解】对于①：随机变量服从二项分布， 则，故①正确； 对于②：随机变量服从正态分布且， 则，故②正确； 对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”， 则，，所以，故③正确； 对于④：，，故④错误． 故选：A． 二、填空题 6．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 【答案】/ 【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件，即可得出答案. 【详解】由已知可得， 根据正态分布的对称性可知. 又，所以. 故答案为：. 7．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知随机变量X服从正态分布，则______． 【答案】8 【分析】根据随机变量方差的性质计算即可. 【详解】由题意得，所以． 故答案为：. 8．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为_________；（若，则） 【答案】0.1/ 【分析】依题意得，则，由，得，即可求解. 【详解】若，则） 因为工业生产中轴承的直径服从， 所以，则， 由， 得， 则要使拒绝的概率控制在之内，则至少为. 故答案为：## 地 城 考点06 随机变量与数列 一、填空题 1．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.8，第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第二次听写的人是甲的概率_____；第次听写的人是甲的概率_______． 【答案】 / 【分析】根据全概率公式列出，然后根据等比数列的通项公式求出，进而可求得结果. 【详解】根据题意，记“第次听写的人是甲”为事件，“第次听写的人是乙”为事件， 设，依题可知. 则. 即. 变形可得，又，则. 则数列是首项为，公比为的等比数列. 即. 所以第2次听写的人是甲的概率为. 所以第次听写的人是甲的概率为. 故答案为：；. 二、解答题 2．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击． (1)设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变量是，求； (2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙． 【答案】(1)20 (2)12 【分析】（1）由已知设，则服从二项分布，根据二项分布期望的公式和期望的性质求解即可； （2）设乙同学的总得分为随机变量，写出的所有可能取值，并计算相应的概率，并求解，利用设，求解的最小值即可. 【详解】（1）设，故， 所以， 故； （2）由（1）知， 设乙同学的总得分为随机变量，的所有可能取值为，，，，， 所以，，， ，，， ， 所以， 设， 则， 故， 即，代入， 故， 设， 易知，当时，，且， 则满足题意的最小为12. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 随机变量及其分布列 地 城 考点01 条件概率与全概率公式 一、单选题 1．A． 2．A. 3．B. 4．B. 5．. 二、多选题 6．BC 三、填空题 7． 8． 9． 地 城 考点02 离散型随机变量的分布列 一、单选题 1．D 二、解答题 2．【详解】（1）的取值分别为1，2，3． ，， 所以李明参加考试次数的分布列为： 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 （2）李明在一年内领到资格证书的概率为： 3．【详解】（1）根据已知条件，的分布列是： 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 的分布列是： 0 1 2 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 （2）直观观察的分布离散程度较大，所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 由（1）知，，， ，， 即要通过两个班数据的方差比较，说明哪个班更接近教科书的真实长度． 所以，， ， 则，故乙班的情况波动情况小， 所以，乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 4．【详解】（1）表示连续取球3次且3次都取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （2）表示连续取球4次，且前3次中有2次取到红球，第4次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （3）表示连续取球5次，且前4次中有2次取到红球，第5次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． 由题意随机变量可取， 根据条件概率可得， ， 则的分布列为 3 4 5 所以． 5．【详解】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C， 则， 所以； （2）X的可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 故， 则该同学得分的数学期望是3.1分. 地 城 考点03 两点分布/二项分布 一、单选题 1．C. 二、填空题 2．/0.1875 3． 4．108 5．7 三、解答题 6．【详解】（1）估计种子密度的平均值为； （2）由频率分布直方图知优种占比为， 任选一粒种子萌发的概率． 因为这批种子总数远大于2，所以萌发的种子数符合二项分布， 所以可取的值为，，， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以期望， 故期望值为. 7．【详解】（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙 大学恰好通过一门笔试科目”为事件， 根据题意可得， （2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为， 根据题意可知，，所以，， ， ， . 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 ， 若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有， 所以，又因为，所以， 所以，的取值范围是. 8．【详解】（1）甲的消费金额为210元，选择方案二可进行两次抽奖， 则抽到14元代金券的概率为，解得或. （2）设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以． . 当时，取得最大值，所以． （3）①当消费金额（单位：元）在内时，不能参与方案二，只能选择方案一． 由（2）可得，当时，． 设消费金额为， 方案一的代金券的数学期望为． ②当消费金额（单位：元）在或或或或内时， ，选择方案二． ③当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，，选择方案一、方案二都可以． ④当消费金额（单位：元）在或或或内时，，选择方案一． 综上，当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案二； 当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，选择方案一、方案二都可以． 9．【详解】（1）由题意，得，所以，即的数学期望为2. （2）由题意，对于单选题，乙同学每个单选题做对的概率为，对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为. 设乙同学做对单选题的个数为，多选题得3分的个数为，则，， 所以，. 又此次考试中乙同学选择题的得分为， 所以. （3）对于每一道多选题，甲同学每个题只能判断出有一个选项是正确的，先把这个正确选项选上，如果甲同学不继续选其他选项，肯定能得3分；如果甲同学继续选其他选项的话，设此题的最终得分为，则的所有可能取值为0，6， 所以的分布列为 0 6 所以此题的得分期望是， 所以我们只需要比较3和的大小关系即可， 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部选2个选项； 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样，所以甲同学每道多选题选择1个选项或2个选项都可以； 当，即时，此时每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部只选1个选项. 10．【详解】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则 ， 故， 由（i）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 地 城 考点04 超几何分布 一、单选题 1．B 二、多选题 2．ABD 3．ABD 三、解答题 4．【详解】（1）由题意可知，掷一枚骰子，点数为1或2的概率为，点数为3、4、5、6的概率为. 由于掷一枚骰子后摸出的球都是红球的概率是， 则，化简得， 解得或者（舍去）. 所以. （2）由题意可知，随机变量可能取值为0，1，2. 则； ； . 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 5．【详解】（1）零假设：数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关联 由题设， 故依据小概率值的独立性检验，不能认为零假设成立， 故认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； （2）由分层抽样的等比例性质，5人中有2人优秀，3人非优秀， 所以优秀学生人数，且，，， 故分布列如下， 0 1 2 则. 6．【详解】（1）根据题意计算得，7个品牌中“有效促销”的品牌是1，2，3号品牌，共有3个，“过度促销”的品牌是6，7号品牌，共有2个． 设“取出的4个品牌中‘有效促销’ 的个数比‘过度促销’的个数多”为事件， 则． （2）由（1）知，7个品牌中有3个品牌是“有效促销”，所以的可能取值是0，1，2，3， 因为，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 7．【详解】（1）列联表如下： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 145 105 250 每天使用时长低于2小时 30 120 150 合计 175 225 400 零假设：“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”无关联． 因为， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于2小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001． （2）由分层随机抽样知：在每天使用电子产品不低于2小时的学生中抽取人， 在每天使用电子产品低于2小时的学生中抽取人． 所以的可能取值为0，1，2，3，4，5， 所以， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 5 所以. 地 城 考点05 正态分布 一、单选题 1．B 2．D． 3．C 4．A 5．A 二、填空题 6．. 7．. 8．0.1/ 地 城 考点06 随机变量与数列 一、填空题 1．/ 二、解答题 2．【详解】（1）设，故， 所以， 故； （2）由（1）知， 设乙同学的总得分为随机变量，的所有可能取值为，，，，， 所以，，， ，，， ， 所以， 设， 则， 故， 即，代入， 故， 设， 易知，当时，，且， 则满足题意的最小为12. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 随机变量及其分布列 6大高频考点概览 考点01条件概率与全概率公式 考点02离散型随机变量的分布列 考点03两点分布/二项分布 考点04超几何分布 考点05正态分布 考点06随机变量与数列 地 城 考点01 条件概率与全概率公式 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是.则这种产品的一级品率为（　　） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)，两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且，两种品牌的钢笔的次品率分别为和．若市场上这种型号钢笔的次品率为，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)某疾病在人群中的患病率为，该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为，阴性人群被检测为阳性的概率为，则一个人检测结果为阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)抛掷两枚质地均匀的骰子，两个点数都出现偶数的概率和已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率分别是（    ） A．都是 B．都是 C．和 D．和 二、多选题 6．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)（多选）一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)某学校有、两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐，如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为______． 8．(24-25高二下·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期末)已知两个随机事件，，若，，，则________． 9．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．    地 城 考点02 离散型随机变量的分布列 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： （1）李明在一年内参加考试次数X的分布列； （2）李明在一年内领到资格证书的概率． 3．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 4．(24-25高二下·内蒙古部分学校·期末)小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 5．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为，三步篮投中的概率为，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次. （1）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （2）求该同学的总得分X的分布列和数学期望. 地 城 考点03 两点分布/二项分布 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则________． 3．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)已知随机变量满足，若，则期望______． 4．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)某校高一新生组织数学竞赛选拔测试，一共30道试题，规定答对一题得5分，答错一题扣2分．已知小明同学每道题答对的概率为0.8，每道题答对与否互相独立，则小明同学总得分的均值为______． 5．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)某校有10名同学进入“一带一路”知识竞赛的半决赛环节，半决赛设置三道题目，选手按的顺序回答题目，只要答对2道题目，即可进入决赛，若每位选手答对、题目的概率分别为，且每道题目答对与否互不影响.设人进入决赛的概率为，当取得最大值时，________. 三、解答题 6．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和． (1)估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)用频率估计概率，从这批种子（总数远大于）中选取粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发相互独立）． 7．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中. (1)若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围. 8．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． (1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 9．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. (1)设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； (2)若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； (3)已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 10．(24-25高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 地 城 考点04 超几何分布 一、单选题 1．(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)（多选）一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（    ） A．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布 B．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布 C．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为 D．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为 3．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)（多选）下列说法正确的有（   ） A．某学校有2025名学生，其中男生1013人，女生1012人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 B．若随机变量的均值，则 C．若随机变量的方差，则 D．随机变量，则 三、解答题 4．(24-25高二下·吉林长春十一高中·)甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是. (1)求m的值； (2)若不掷骰子，直接从甲箱摸出2个球，记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 5．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)为了研究高中学生平时的数学成缆和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取100名学生进行调查统计．数据如下： 整理数学错题习惯 数学成绩 合计 优秀 非优秀 有 20 30 50 没有 10 40 50 合计 30 70 100 (1)依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； (2)在调查统计有整理数学错题集习惯的50名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取5人组建研讨小组，再从5人研讨小组中随机抽取3人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 6．(24-25高二下·吉林白城第一中学·期末)某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下： 品牌代号 1 2 3 4 5 6 7 促销活动经费 1 2 4 6 10 13 20 销售额 12 20 44 40 56 60 82 若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”． (1)从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率； (2)从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望． 7．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了400名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表： 近视学生 非近视学生 合计 每天使用时长不低于2小时 105 250 每天使用时长低于2小时 合计 175 400 (1)完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于2小时”有关联？ (2)按每天使用电子产品的时长是否低于2小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取15人进一步调查其用眼卫生情况，再从这15人中随机抽取5人，记为所抽5人中每天使用电子产品不低于2小时的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 地 城 考点05 正态分布 一、单选题 1．(24-25高二下·吉林吉林普通高中友好学校联合体·期末)已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（   ） A．1600 B．1800 C．2100 D．2700 3．(24-25高二下·吉林吉林永吉实验高级中学等校·期末)已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，（    ） A．0.1359 B．0.01587 C．0.0214 D．0.01341 4．(24-25高二下·吉林友好学校·期末)已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（    ） 附：若随机变量，则，， A．0.1359 B．0.7282 C．0.8641 D．0.93205 5．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①② 二、填空题 6．(24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 7．(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知随机变量X服从正态分布，则______． 8．(24-25高二下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为_________；（若，则） 地 城 考点06 随机变量与数列 一、填空题 1．(24-25高二下·吉林长春G8教考联盟·期末)甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.8，第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第二次听写的人是甲的概率_____；第次听写的人是甲的概率_______． 二、解答题 2．(24-25高二下·吉林长春外五县·期末)甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击． (1)设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变量是，求； (2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $