专题01 空间向量的运算（一）-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（四）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（四） 空间向量的运算（一） 一、精研考纲 考纲 考点 示例 题型 分值 热度 1.空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用 (1)理解直线的方向向量与平面的法向量. (2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. (3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 空间向量的坐标运算 2015广东，14 填空题 5分 ★★★★ 空间向量的数量积运算 2016浙江，15 填空题 5分 ★★★★ 空间的距离计算 2018北京，8 选择题 5分 ★★★★ 空间夹角计算、线面关系证明 2018•全国新课标Ⅲ，18； 2018新课标Ⅰ17 2017山东理科18题[来源:Zxxk.Com] 选择题 填空题 解答题 5分 12分 ★★★★★ [来源:学科网] 二.考情分析 从近几年的高考试题分析，对空间向量的考查一般不单独命题，而主要是在解答题中通 过解决一些综合性问题来进行考查，如空间中线面位置关系的论证，空间各种距离和角的求解等。一般都是要求学生在给出的几何体中建立恰当的空间直角坐标系，并通过空间向量的坐标运算来解决相关问题，因此应熟练掌握空间向量的概念及运算，特别是坐标运算。利用空间向量解决空间线面关系以及空间角的计算是高考必考内容，分值12分左右。建立空间直角坐标系，用坐标或基底表示相关的向量，把线面关系的逻辑推理转化为相应直线的方向向量和平面的法向量之间的运算，用代数运算代替空间线面关系的逻辑推理，使证明和运算过程具有程序化. 三、高频考点展示 考点1 空间向量的坐标运算 通过坐标法计算数量积去证明直线、平面间的平行、垂直关系，求直线的夹角问题，是高考的重点考查内容。解决这类问题时，一般应结合图形，建立恰当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后求出相关向量的坐标，再进行计算和证明。所以空间向量坐标运算一定需要熟练掌握。 实例演练1 （2016•广东）若向量，，，满足条件，则x=　　． 考点2 空间向量的概念与运算 在空间向量的运算中，要注意加法与减法的平行四边形法则、三角形法则的灵活运用，因为空间向量的数量积具有非常重要的应用，在解决平行问题、垂直问题中经常用到，应熟练掌握。 实例演练2（2017•安徽）在四面体O﹣ABC中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则=　　（用a，b，c表示） 考点3 空间数量积的运算 空间向量的数量积可以解决空间角度问题，证明垂直问题，包括利用数量积解决一些长度的计算问题，事实上，线段的长度、两点间的距离都可以看作是一个向量的模，通过对向量进行分解，利用数量积求出向量的模，从而得到线段的长度，这是一种重要的方法，应熟练地掌握。垂直问题证明是利用a·b＝0 ，进而说明线面垂直，是立体几何证明垂直关系的常用方法。 实例演练3 若向量 ，则 等于_________. 实例演练4如下图1，是一个活动的长方体框架 ，它的底面是边长为1的正方形，，它的对角线 ，若把此框架从左向右推成一个平行六面体，推动过程中，上下底面不变，且使得 ，如图2所示，则在平行六面体中， _______. 实例演练5. （2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y0∈R），则x0=　　，y0=　　，|=　． 考点4 空间距离问题 求空间距离的方法可分为直接法、转化法、向量法.直接法是直接作出垂线，再通过解三角形求出距离.转化法则是把点面距离转化为线面距离，或把线面距离转化为面面距离，再转化为点面距离.向量法是把距离求解转化为向量运算. 实例演练6.（2015•北京）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 考点5 空间角的计算与求解 空间角包括异面直线所成角、线面角、面面角三种，可能出现在客观题中，也可以出现在解答题某一问，对于空间向量．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题．,b>=、b，有cos< 实例演练7 已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值