专题02 空间向量的运算（二）-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（四）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（四） 02空间向量的运算（二） 一．重难点展示 1. 空间向量的基本概念：空间向量可以与平面向量进行类比，向量加、减法的平行四边形法则、三角形法则以及相关的运算律仍然成立，单位向量、向量的模、相等向量以及相反向量的概念和平面向量中的概念一致，空间向量数量积运算、共线向量定理和共面向量定理都是平面向量的推广。空间向量基本定理也称为空间向量分解定理，它为空间向量的坐标表示奠定了基础。[来源:学科网ZXXK] 2. 空间几何关系与向量的转化：选取三个不共面的向量为基向量，常选3个共起点而不共面的向量或3个顺序相接的向量为基向量，常用向量关系化有：[来源:Zxxk.Com] （1）A、B、C三点共线 存在实数t，使 存在实数t，使 （2）A、B、C、D共面 EMBED Equations 与 共面 存在实数x，y，使 ； 3.共线、共面向量基本定理可以处理的问题：利用共线向量定理可以证明两直线平行、三点共线；利用共面向量定理可以证明点线共面、线面平行及面面平行。 二、学习指导 1、选定空间不共面的三个向量，作为基向量，并用它们表示出指定的向量是用向量解决立体几何问题的基本要求，学习时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，要确定空间向量的坐标，就必须选取空间直角坐标系，为了使所得点的坐标方便于计算和证明，一定要分析空间几何体的构造特点，建立恰当的坐标系，其次要灵活运用平面几何的知识、直线与平面的知识来找出“点”的坐标。要注意长方体、直三棱柱、正三棱柱、正四棱锥等特殊几何体建立空间直角坐标系的规律。 2、空间向量的加法、减法和数量积的坐标运算法则与平面向量类似，我们在学习中可类比学习，两种向量的根本不同是坐标下形式，在不同的空间（平面可以看作是二维空间），一个向量的表达方式不同，但其实质没变，所以在空间向量的运算法则中，仅是在平面向量法则的基础上增加了对相应于z轴的坐标的运算规定，使其有着不同的表示形式而已（如空间向量于平面两向量的平行表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例；空间两向量垂直的充要条件形式于平面内类似，仅多了一项基向量等），甚至有的运算法则在不同空间从内容到形式都是完全一致的（如：两个向量的数量积的定义无论在二维空间还是在三维空间都一样，即 ），学习中要善于利用这种相互联系来帮助自己尽快掌握好空间向量的坐标运算规律。[来源:学,科,网Z,X,X,K] 3、（1）用空间向量的坐标运算证明线线垂直问题。若 ， ，则 的充要条件是 ，因此我们要证明空间两条直线垂直，可以分别取两条直线对应的向量（方向向量），只需证明这两个向量垂直即可，也就是只要证明这两个向量的数量积为零，这样我们就可以把几何体放入一个适当的空间直角坐标系中，求出相关点的坐标，然后进行坐标运算就可以了，用这种方法证明垂直问题，避免了抽象的逻辑推理和复杂的空想象，体现了向量工具的优越性。 （2）用空间向量的坐标运算求两异面直线所成的角，可以分别在两条异面直线上取对应的向量（方向向量），那么这两个向量的夹角（或夹角的补角）就是这两条异面直线所成的角，而两个向量的夹角，我们可以通过建立坐标系，利用空间两向量的夹角公式求得，这样利用向量的坐标运算方法求两异面直线所成的角，同样也避免了抽象的逻辑推理和复杂的作图过程，只需进行简单的计算就可以了。 探要点·究所然[来源:学&科&网] ◆ 考点一. 　空间向量坐标的运算 1　已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则(2a＋3b)·(a－2b)＝ ________． 2　已知a＋b＝(2，，0)，则cos〈a，b〉＝(　　) )，a－b＝(0，，2 A. D. C. B. ◆ 考点二 　垂直与平行条件的应用 1　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝.若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，则k的值为________．，b＝ 2　已知向量a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则(　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝ D．x＝－，y＝－ ◆ 考点三　利用空间向量的坐标运算求夹角及长度 1　已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． 求以为边的平行四边形的面积．[来源:Zxxk.Com]， 2　如图3­1­15所示，直棱柱ABC ­ A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值； (3)求证：A1B⊥C1M. 图3­1­15 备课素材 [教师专属栏目Ⅱ] 1. 向量运算的坐标表示 1.