专题03 空间向量的数量积运算-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（四）

　2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析 　　　03空间向量的数量积运算 三维目标：1．掌握空间向量的数量积定义． 2．能应用数量积解决简单几何问题；[来源:Zxxk.Com] 重点难点：掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律． 教学建议：掌握空间向量的数量积运算及向量的夹角概念；运用公式解决立体几何中的有关问题。培养学生观察、分析、类比转化的能力；探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力. 新课导入 1．回顾平面向量的数量积的运算，并完成下表：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 运算 类型 几何方法 坐标方法 向量的 数量积 1.a·b是一个____ 2．a＝0或b＝0时， a·b＝____ 3．a≠0且b≠0时， a·b＝______________ a·b＝______ 　1．数　0　|a||b|cos〈a，b〉　x1x2＋y1y2 　 2.向量的数量积运算性质：[来源:学科网ZXXK] a·b＝______，(λa)·b＝______＝_______，(a＋b)·c＝__________， a2＝______或|a|＝________，|a·b|≤___________． 2．b·a　a·(λb)　λ(a·b)　a·c＋b·c　|a|2　x2＋y2　|a||b| 读教材·究本源 ◆ 知识点一空间向量的夹角 [来源:Z§xx§k.Com] 图3­1­8 1．如图3­1­8，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝b，则∠AOB叫作向量a，b的______，记作______．＝a， 1.夹角　〈a，b〉 2．〈a，b〉＝〈b，a〉，a和b的夹角的范围是______，其中当〈a，b〉＝0时，a与b________；当〈a，b〉＝π时，a与b________，当〈a，b〉＝. 时，a与b________.反之，若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；若a⊥b，则〈a，b〉＝ 2．[0，π]　方向相同　方向相反　垂直 ◆知识点二　数量积的相关概念 1．已知向量a，b，则________________________________________________________________________叫作a，b的数量积， 记作________，即______________． 1.|a||b|cos〈a，b〉　a·b　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 2．空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔__________． (2)|a|2＝______或|a|＝________． (3)cos〈a，b〉＝__________． 2．(1)a·b＝0　(2)a·a　　(3) 3．空间向量数量积运算律 (1)(λa)·b＝__________＝__________． (2)a·b＝________(交换律)． (3)a·＝__________(分配律)． 注：没有结合律(a·b)·c＝a·b·c 3．(1)λ(a·b)　a·(λb)　(2)b·a　(3)a·b＋a·c 备课素材 1．注意向量乘法的结合律是不成立的，即a·(b·c)＝ (a·b)·c是不成立．事实上a·(b·c)表示与a平行的向量，而(a·b)·c表示与c平行的向量． 2．两个非零向量共线时，如果同向，夹角为0，如果异向，夹角为π，特别的〈a，a〉＝0，〈a，－a〉＝π. 3．注意二个向量夹角的范围：[0，π]，当夹角为锐角时其余弦值为正，当夹角为钝角时其余弦值为负．反之当两向量不共线时亦成立. 4. 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：证明两直线垂直.；求两点之间的距离或线段长度；证明线面垂直..求两直线所成角的余弦值等. 探要点·究所然 ◆ 考点一. 　数量积的计算 1　已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2　如图3­1­9，已知长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点．试计算：(1) . · ；(2)· 图3­1­9 ◆ 考点二利用数量积证明垂直关系 1　已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”) 2　如图3­1­10，在四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. 求证：PA⊥BD. 图3­1­10 ◆ 考点三利用向量的数量积解决夹角问题 　如图