专题05 利用空间向量求距离-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（四）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（四） 05 利用空间向量求距离 一．课标要求： 1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；[来源:学科网] 2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。[来源:学*科*网Z*X*X*K] 二．命题走向 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察主要有以下情况：（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用。 预测2019年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察。 三．要点精讲 （1）点到直线的距离：点Ｐ到直线 的距离为点Ｐ到直线 的垂线段的长，常先找或作直线 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线 的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。 点到平面的距离：点Ｐ到平面 的距离为点Ｐ到平面 的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面 的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为 ，则点Ａ，Ｂ到平面 的距离之比也为 ．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面 的距离相等；③体积法 （2）异面直线间的距离：异面直线 间的距离为 间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线 的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过 且与 平行的平面，则直线 到平面的距离就是异面直线 间的距离．③找或作出分别过 且与 ， 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线 间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。 （3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。 （4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。 以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 如下图所示，a、b是两异面直线， 是a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a与b之间的距离是 ； （2）用法向量求点到平面的距离 如下图所示，已知AB是平面α的 一条斜线， 为平面α的法向量，则 A到平面α的距离为 ； （3）用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。 （4）用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。 四、典例分析 例1、如图，在正四棱柱ABCD－ 中，底面边长为 ，侧棱长为4，点E，F分别为棱AB、BC的中点， ，求点 到平面 的距离。 解：结论如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则 （0，0，4）， ）， ， 所以 ， ， ， 设n＝（x，y，z）是平面 的法向量，则 令y＝1，得 所以，点 到平面 的距离为 点评：求点面距离的关键是利用点与平面内异于该点射影的任一点，找出斜线段所在的向量在法向量上的射影，然后利用公式求解。 例2、在长方体ABCD－ 中，AB＝4，AD＝3， ，M，N分别为CD， 的中点，求异面直线MN与 的距离。 分析：建立坐标系，求 的单位向量，再求 在单位法向量上的射影。[来源:学|科|网] 解：以A为原点，以AD，AB， 为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图 则M（3，2，0），N（0，4，1），即 设MN， 公垂线的方向向量为n＝（x，y，z），则有 令y＝1，则z＝2， ， 即 ， 又 在n上的射影的长度为： 即异面直线MN与 的距离为 点评：如果利用空间几何的抽象思维求解，单是找公垂线则很费力，而利用向量法减少了找公垂线的过程，直接利用代数方法计算。显示了向量的优势。 例3、如图，边长为1的正方体ABCD－ 中，E、F分别为 的中点， ，过E、F、G的平面交 于点H，求 到平面EFGH的距离。 解：以D为坐标原点，分别以DA，DC， 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， EMBED Equations ， ，设平面EFGH的法向量n＝（x，y，z），则 ，且 ，即 令z＝6，可得n＝（0，－1，6），又 ，所以 到平面EFGH的距离 点评：可见其它的距离问题都可以转化为点到面的距离问题求解，所以点到面的距离最重要。 例