专题06 空间向量专题指导-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（四）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(四) 06 空间向量专题指导 一、考纲解读 ①握空间向量的线性运算及其坐标表示.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. ②利用空间向量证明空间中的平行与垂直关系。利用空间向量求两异面直线所成的角、线面角和二面角等计算空间角的问题；利用空间向量求空间距离问题。关键掌握角度的求解，距离为辅。 二．知识结构： 三、复习策略 1．用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量。对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．用向量方法求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)，其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。 3．空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解。设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，交平面于A，则点B到平面的距离为。 四、典例分析 1. 证明平行[来源:学.科.网] 例1（2011四川文科）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．求证：PB1∥平面BDA1； 分析：本题可以利用传统方法证明，也可以利用向量法证明，设直线PB 的方向向量a，平面BA1D的一个法向量为n，要证明PB1∥平面BA1D，只需证明，即即可。 证明：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则 ， ， ， ， ． 在△PAA1中有 ，即 ． ∴ ， ， ． 设平面BA1D的一个法向量为 ， 则 令 ，则 ． ∵ ， ∴PB1∥平面BA1D， 点评：利用向量证明线面平行主要有两条途径：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)利用向量平行的条件证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量是平行向量. 2. 证明垂直 例2（2011湖南理科）如图，在圆锥 中，已知 = ，⊙O的直径 , 是 的中点， 为 的中点．证明：平面 平面 ; 分析：本题可以利用传统方法证明，也可以利用向量法证明，首先建立正确的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用向量的数量积求得相关两平面的法向量，证明两个平面的法向量互相垂直。 解：如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 ， 设 是平面POD的一个法向量，则由 ，得 所以 设 是平面PAC的一个法向量，则由 ， 得 所以 [来源:Zxxk.Com] 得 。因为 所以 从而平面 平面PAC。 点评：向量a垂直于向量b的充要条件是a b ，据此可以证明直线与直线垂直，进而还可证明直线与平面垂直及两个平面垂直．在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为零．本题把推理论证面面垂直用向量运算来代替，减少了构造辅助图形，降低了思维量． 3.求异面直线所成角 例3（2011陕西理科）如图，在 中， 是 上的高，沿 把 折起，使 。 （Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ  ⊥平面ＢＤＣ； （Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求 与 夹角的余弦值。 分析：要证明面面垂直通过转化证明线线垂直，求线线所成角具体方法是：设两异面直线 所成的角为 分别是 的方向向量，注意到异面直线所成角的范围是 ，则有 ．[来源:学_科_网] 解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ， 又DB ＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，∵AD 平面BDC． 平面ABD 平面BDC。 （Ⅱ）由∠ ＢＤＣ＝ 及（Ⅰ）知DA，ＤＢ，DC两两垂直，不防设 =1，以D为坐标原点，以 所在直线 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0， ），E（ ， ，0）， = ， =（1，0,0,）， 与 夹角的余弦值为[来源:学科网] ＜ ， ＞= EMBED Equation.DSMT4 ． 点评：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 4.求线面所成角 例4在正三棱柱 中，已知 在棱 上，且 ，若 与平面 所成的角为 ，则sin （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 分析：求斜线的方向向量与该平面的法向量所成的角，再利用“斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成角(补角)