打包02（专题04-06）-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（四）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（四） 04 向量法求空间角 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本文旨在讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。 ⒈空间的角包括两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，以及二面角等。 ⒉考试要求：既要深刻理解它们的含义(包括取值范围)，又要能综合应用其概念和平面几何知识熟练解题。 ⒊对于空间向量．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题． ,b>=、b，有cos< 经典例题解析： 求解空间中的角的策略是转化思想，即把空间角转化为平面的角解决，空间的角共有三种：线线角、线面角、二面角。而空间的角的求解是高考考查的热点，下面就具体分析空间角的求解策略。 1、 两条异面直线所成的角 已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O作直线 ，那么直线 所[来源:学科网ZXXK] 成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（夹角）。点O也可选在a或b上。由定义可以看出两条异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角定义的，它刻画了两条异面直线的相对倾斜程度。两条异面直线所成角的范围是 ；当夹角为 时，两条异面直线互相垂直。[来源:Zxxk.Com] 例1、如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°。点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是（ ） A．45° B．60° C．90° D．120° 例2．如图2所示：在空间四边形ABCD中，AD=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠DAC=45，求AD与BC夹角的余，∠DAB=60 [来源:学,科,网] 例3 在棱长为a的正方体ABCD—AC与DB所成的角． 中，求：异面直线BDCB 2、 直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。 特别地，当直线和平面垂直时所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为 ，直线和平面所成的角的取值范围为 例4、如图，正三棱柱ABC—A1B1C​1中，AB=AA1， 则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为 （ ） A． B． C． D． 例5在长方体AD⊥AN，请用向量方法解决下列问题。 D上，AM=2，点N在线段A上一点，且BC=4，M为B中，AB=5，AD=8，AADCB 1 证：AD⊥AM，⑵求AD与平面ANM所成的角。 练习：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 . 3、 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。它的大小用它的平面角来度 量，其平面角是一个线线角。二面角的取值范围是 当两个半平面重合时，二面角为 ；平面内的任意一条直线把平面分成两个半平面，这样的两个半平面组成 的二面角。 例6如图，三棱锥P－ABC中， 为正三角形，M、 N分别是PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此棱锥侧面PBC与底面ABC所 成二面角的余弦值是 （ ） A． B． C． D． 例7 (2008浙江高考题）如图9，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面 互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2,⑴求证：AE∥平面 DCF；⑵当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？ 达标测试题 一、选择题 1．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为(　　) A．30°　　　 B．45°　　　 C．60°　　　 D．90° 2．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为(　　)[来源:Zxxk.Com] A.　　　 　　　 B. C．－　　　 D. 3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为(　　) A. 　　 B. C.[来源:学科网] 　　 D. 4．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为(　　) A．(0°，90°) B．90° C．120° D．(60°，120°) 5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的