考点11 导数与函数的单调性-2019版典型高考数学试题解读与变式

【考纲要求】 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值. 预计2019年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）原函数与其导函数的图像问题 例1.【2017浙江高考】函数 的导函数 的图像如图所示，则函数 的图像可能是（ ）.[来源:学#科#网] 【变式1】【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【吉林省吉林市2018届高三第三次调研】设曲线 上任一点 处切线斜率为 ，则函数 的部分图象可以为 A． B． C． D． 【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【广东省珠海一中等六校2018届高三第三次联考】函数的导函数在区间上的图象大致是( ) A． B． C． D． （二）用导数求不含参数的单调区间 例2.【2018全国卷II节选】已知函数． （1）若，求的单调区间； 【变式1】【改编函数条件，函数中含分式】【2016全国2卷（理）】（1）讨论函数 的单调性，并证明当 时， 【变式2】【改编函数条件，需要通过二次求导得出单调性】【2018广西壮族自治区南宁市第二中学6月考试】已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间； （三）用导数求含参函数的单调区间 例3.【2017全国1卷（理）】【2018全国I卷节选】已知函数． （1）讨论的单调性； 【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷（文）改编】已知函数 ． （1）讨论 的单调性； 【变式2】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】【2016全国1卷（文）改编】已知函数 . （Ⅰ）讨论 的单调性； 【变式3】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】【2015天津卷（理）改编】已知函数，其中. （Ⅰ）讨论的单调性； 【变式4】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数需要二次求导型】【2016北京卷（理）】设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅰ）求 ， 的值； （Ⅱ）求 的单调区间.[来源:Zxxk.Com] 【数学思想】 分类讨论思想 1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”． 2.分类讨论思想的常见类型  ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；  ⑵问题中的条件是分类给出的；  ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；  ⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【处理导数与单调性问题注意点】 解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法. 【典例试题演练】[来源:学科网ZXXK] 1．【2018河南郑州一中测试题】如果函数 在区间 上是增函数，而函数 在区间 上是减函数，那么称函数 是区间 上“缓增函数”，区间 叫做“缓增区间”.若函数 是区间 上“缓增函数”，则“缓增区间” 为 ( ) A. B. C. D. 2．【2018河南南阳一中上学期第二次考试（文）】已知函数 ，则函数 的单调递增区间是__________． 3．【2018辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模（文）改编】 已知函数 ， （ 为自然对数的底数）. (Ⅰ)讨论 的单调性； 4．【河北省石家庄2018届高三教学质量检测节选】已知函数. (1)讨论函数的单调性； 5．【四川省华蓥市第一中学2019届高三入学调研】已知函数，． （1）若，求函数的极值；[来源:学+科+网] （2）设函数，求函数的单调区间； 6．【湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研】已知函数，. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 7．【2018河北省石家