考点12 导数与函数的极值与最值-2019版典型高考数学试题解读与变式

【考纲要求】 （1）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】 利用导数研究函数的极值与最值是高考的热点问题，近2年在高考中大批量的出现，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值综合考查，有时出现在做题过程中. 预计2019年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数的极值与最值，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）函数的极值的意义 例1.【2018全国卷Ⅲ理】已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 【变式1】【改编例题的问法，辨别极值与零点的不同】【2015陕西卷理科】对二次函数 （ 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A． 是 的零点 B．1是 的极值点 C．3是 的极值 D．点 在曲线 上 【变式2】【改变例题的问法，通过极值问题求参数的范围】【四川省成都市2019届高中毕业班摸底测试】若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）[来源:Zxxk.Com] A． B． C． D． （二）求函数的极值 例2.【2017全国2卷理】已知函数 ，且 . （1）求 ； （2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 . 【变式1】【改变例题的问法，通过极值求参数范围】【2017江苏卷】已知函数 有极值，且导函数 的极值点是 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求 关于 的函数关系式，并写出定义域；[来源:Z*xx*k.Com] （2）证明： ； （3）若 ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 的取值范围. 【变式2】【改编例题条件和问题，求解含参函数的极值】【2017山东理】已知函数 ， ，其中 是自然对数的底数. （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）令 ，讨论 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 【变式3】【根据函数在某处取得极值求参数范围】【2018北京卷理】设函数=[]． （1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求； （2）若在处取得极小值，求的取值范围． 【变式4】【根据极值点的关系证明等式或不等式】【2018福建名校一模】已知函数. (Ⅰ)若，求函数的极值； (Ⅱ)若，记为的从小到大的第（）个极值点，证明：（）． （三）求不含参函数的最值[来源:Z|xx|k.Com] 例3.【2017北京卷理】已知函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程；[来源:学#科#网Z#X#X#K] （2）求函数 在区间 上的最大值和最小值. 【变式1】【在给定区间上求函数的最值】【2018河北石家庄二中八月模考】已知函数 . （Ⅰ）当 时，求 的最大值与最小值； （Ⅱ）讨论方程 的实根的个数. （4） 求含参函数的最值 例4.【2016全国2卷理】（1）讨论函数 的单调性，并证明当 时， （2） 证明：当 时，函数 有最小值.设 的最小值为 ，求函数 的值域. 【变式1】【由最大值存在的不等关系求参数的取值范围】【2015全国2卷文】已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）当 有最大值，且最大值大于 时,求 的取值范围． 【变式2】【求函数取得最值时自变量的取值】【2014安徽卷理】设函数 ,其中 . （1）讨论 在其定义域上的单调性； （2）当 时，求 取得最大值和最小值时的 的值. 【变式3】【含参函数在给定区间上的最值】【2018宁夏银川一中四模】设函数，其中e为自然对数的底数． 若曲线在y轴上的截距为，且在点处的切线垂直于直线，求实数a，b的值； 记的导函数为，求在区间上的最小值． 【数学思想】 分类讨论思想 1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”． 2.分类讨论思想的常见类型  ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； [来源:学&科&网Z&X&X&K] ⑵问题中的条件是分类给出的；  ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；  ⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状