考点14 利用导数解决综合问题-2019版典型高考数学试题解读与变式

【考纲要求】 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. （3）会利用导数解决某些实际问题。 【命题规律】 导数综合问题是高考中的难点所在，题型变化较多，尤其是利用导数证明不等式等相关知识.[来源:Zxxk.Com] 熟练掌握利用导数这一工具，将试题进行分解，逐一突破，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题，这也是2018年考试的热点问题. 【典型高考试题变式】 （一）构造函数在导数问题中的应用 例1.【2015全国2卷（理）】设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式1】【改编例题条件，利用导数运算法则构造函数求最值】【2017河南郑州三质检】设函数满足，，则时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【变式2】【改编例题条件，利用导数运算法则构造函数求解不等式】【2018江西南昌二轮复习测试】已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． [来源:学科网] 【变式3】【改编例题条件，利用构造函数思想比较大小】【2018河北石家庄二模】已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且(为函数的导函数)，若且，则下列不等式一定成立的是( ) A． B． C． D． 【变式4】【改编例题条件，构造函数解决恒成立问题】【2018安徽蚌埠二中高三7月月考（文）】已知对任意实数 ，关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最大整数值为( ) A. 0 B. C. D. （二）方程解（函数零点）的个数问题 例2.【2015全国1卷（理）】已知函数，． （1）当为何值时，轴为曲线的切线； （2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数． 【变式1】【改编例题的条件，依据函数零点个数求参数的取值】【江西省赣州市2018年高三（5月）适应性考试】已知函数（）. （1）若，证明：函数有且只有一个零点； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【变式2】【改编例题的条件，依据函数零点个数证明不等式】【2015天津卷（理）】已知函数，其中. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有； （Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证： 【变式3】【改编例题的条件和结论，函数零点与充要条件综合】【2016北京卷（文）】设函数 （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）设 ，若函数 有三个不同零点，求c的取值范围； （Ⅲ）求证： 是 有三个不同零点的必要而不充分条件. （三）函数中的隐零点问题 例3.【2017全国1卷（理）】已知函数 . （1）讨论 的单调性；[来源:学科网] （2）若 有两个零点，求 的取值范围. 【变式1】【改编例题的条件，根据零点个数不同，确定参数取值范围】【2018山西孝义高三入学摸底考试】已知函数 . （1）讨论函数 在区间 上的单调性； （2）已知函数 ，若 ，且函数 在区间 内有零点，求 的取值范围. （4） 极值点偏移问题 例4.【2016全国1卷（理）】已知函数 有两个零点. （Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）设x1，x2是 的两个零点，证明： . 【变式1】【改编例题的条件，由极值点偏移思想证明参数的大小】【2018广东深圳高三入学摸底考试（文）】已知函数. （1）求函数的极小值； （2）若函数有两个零点，求证：.[来源:Zxxk.Com] 【变式2】【改编例题的条件，由极值点偏移思想证明不等式】【2018吉林三调】已知函数 . （1）当 时，求函数 的极值； （2）设 ，若函数 在 内有两个极值点 ，求证： . 【变式3】【改编例题的条件，由极值点偏移思想证明不等式（乘积型）】【2018河北衡水金卷一模】已知函数. （1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围； （2）设关于的方程的两个不等实根，求证：（其中为自然对数的底数）. （5） 一元函数不等式的证明 例4.【2016山东（理）】已知 . （1）讨论 的单调性； （2）当 时，证明 对于任意的 成立. 【变式1】【改编例题的条件，证明不等式】【2018河北石家庄二模】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数存在极大值，且极大值为1，证明：. 【变式2】【改编例题的条件，证