专题03 导数及其应用-文科数学学科素养与能力突破

学科素养 训练题组 数学抽象 例 （2018•达州模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）= x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx． （1）当a=1时，求函数f（x）的极大值； （2）当a≥1时，求证：方程f（x）=g（x）有唯一实根． 【思路分析】（1）a=1时， ，可得 f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，即可得函数 f（x）取得极大值f（1）=﹣1． （2）方程f（x）=g（x）的根⇔ 的根，令h（x）= ，（x＞0，a≥1）， ，分a=1，a＞1两种情况讨论即可． 【解析】（1）a=1时，函数f（x）=lnx﹣x， ， x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， ∴x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=﹣1．[来源:学科网] （2）方程f（x）=g（x）的根即 的根，令h（x）= ，（x＞0，a≥1） ， ①当a=1时，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，函数h（x）单调递增，方程f（x）=g（x）有唯一实根． ②当a＞1时，x∈（0，1）时，h′（x）＞0， x∈（1，a）时，h′（x）＜0， x∈（a，+∞）时，h′（x）＞0， ∴h（x）在（0，1），（a，+∞）单调递增，在（1，a）单调递减，而h（1）=﹣a﹣ ，x→+∞时，h（x）→+∞， 函数h（x）与x轴只有一个交点，∴方程f（x）=g（x）有唯一实根． 综上所述，方程f（x）=g（x）有唯一实根． 【方法技巧】此题考查了可导函数的单调性与其导数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 1．已知函数f（x）＝ln x–ax（a∈R），讨论函数 f（x）的单调性． 2．【2017·郑州模拟】已知函数f（x）＝（x–k）ex． （1）求f（x）的单调区间； （2）求f（x）在区间[0，1]上的最小值． 3．设函数f（x）＝ax3–2x2＋x＋c（a>0）． （1）当a＝1，且函数图象过（0，1）时，求函数的极小值；学!科网 （2）若f（x）在R上无极值点，求a的取值范围． 直观想象 例 设函数y＝xsinx＋cosx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k＝g（x0），则函数k＝g（x0）的图象大致为（　　） 【思路分析】求出函数的导数，得到函数