第2章 微突破 指、对、幂的大小比较(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了指、对、幂大小比较的六大核心方法，按单调性法、中间值法等类型构建解题策略网络，通过问题链和例题解析，引导学生从函数性质出发自主归纳比较技巧，形成完整知识框架。 亮点在于诊断式学习设计与分层训练，如开篇例题帮助学生自主定位方法薄弱点，每个模块配有“听课记录”反思栏和技巧总结表，培养数学思维与表达能力。强化训练题覆盖不同难度，教师可通过学情精准指导，助力学生自主提升与因材施教。

微突破　指、对、幂的大小比较 　　指、对、幂的大小比较是高考命题的热点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质.比较大小时，既有常规方法，也有一些灵活巧妙的方法，一般以选择题或填空题的形式出现. 单调性法比较大小 （1）已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.c＜b＜a （2）已知a＝log41.25，b＝log51.2，c＝log48，则（　　） A.a＞b＞c B.c＞b＞a C.c＞a＞b D.a＞c＞b 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 单调性法比较大小的应用技巧 （1）底数相同，指数不同，如和，利用指数函数y＝ax的单调性比较大小； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数y＝xa的单调性比较大小； （3）底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小. 中间值法比较大小 （1）已知a＝sin，b＝20.1，c＝log2，则（　　） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.a＞c＞b D.a＞b＞c （2）已知a＝log42，b＝log83，c＝（，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.c＜b＜a 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计. 构造函数法比较大小 （1）已知a＝e，b＝3log3e，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＜a＜b B.a＜c＜b C.a＜b＜c D.b＜c＜a （2）已知a，b，c均为正实数，满足a＋5a＝5，b＋log2b＝5，c＋c3＝5，则（　　） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.b＞c＞a 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 构造函数法比较大小的常见构造方法 （1）同形构造：根据结构构造统一函数，通过导数判断单调性，再根据单调性来比较数的大小； （2）不同形构造：可以两两做差构造新函数，再通过导数判断单调性，根据单调性来比较数的大小. 特殊值法比较大小 （1）已知a＞b＞1，0＜c＜，则下列结论正确的是（　　） A.ac＜bc B.abc＜bac C.alogbc＜blogac D.logac＜logbc （2）已知a＝2x，b＝ln x，c＝x3，若x∈（0，1），则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞b＞a D.c＞a＞b 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　当要比较大小的几个量不是具体数值，而是具有某种等量关系的几个字母时，可以将其中的字母取一组符合等量关系的特殊的简单数值，通过这组特殊数值来确定它们的大小关系. 作差（商）法比较大小 设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则（　　） A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.a＜c＜b 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.一般情况下，作差或者作商可以处理底数不同的对数比较大小问题. 2.作差或者作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法. 图象法比较大小 （1）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷8题）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为（　　） A.x＞y＞z B.x＞z＞y C.y＞x＞z D.y＞z＞x （2）若正数x，y，z满足5x＝6y＝log7z，则下列选项正确的是（　　） A.z＞y＞x B.x＞z＞y C.y＞z＞x D.z＞x＞y 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　涉及某些由指数式、对数式给出的几个数的大小比较问题，可以把这几个数视为对应的指数函数、对数函数与另外某个函数图象交点的横坐标，利用图象的直观性解决. 1.设a＝log0.42，b＝log0.32，c＝0.30.4，则（　　） A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.a＜c＜b 2.已知a＝，b＝40.6，c＝log38，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＜c＜b B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.c＜a＜b 3.已知log2a＝（a≠2），log3b＝（b≠3），log4c＝（c≠4），则（　　） A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.a＜c＜b 4.若（）a＝log2a，（）b＝b2，＝2－c，则正数a，b，c的大小关系是（　　） A.c＜a＜b B.c＜b＜a C.a＜c＜b D.a＜b＜c 提示：完成课后作业　第二章　双休检测5 答案 微突破　指、对、幂的大小比较 【例1】　（1）A　（2）C　解析：（1）根据函数y＝0.3x在R上单调递减可知a＝0.30.6＜b＝0.30.5，根据函数y＝x0.5在R上单调递增可知b＝0.30.5＜c＝0.40.5，故a＜b＜c.故选A. （2）c＝log48＞log41.25＝a，a＝log41.25＝＞＞＝log51.2＝b，综上，c＞a＞b. 【例2】　（1）A　（2）B　解析：（1）a＝sin＝，因为20＜20.1＜21，所以1＜b＜2，因为log2＜log2＜log22，所以＜c＜1，所以b＞c＞a.故选A. （2）由已知得a＝log42＝，由y＝log8x是增函数可知b＝log83＞log8＝，而c＝（＝＜，所以c＜a＜b.故选B. 【例3】　（1）C　（2）D　解析：（1）设f（x）＝，x≥e，则f'（x）＝≥0恒成立，所以函数f（x）在[e，＋∞）上单调递增，a＝f（e），b＝3log3e＝＝f（3），c＝＝f（5），因为e＜3＜5，所以f（e）＜f（3）＜f（5），所以a＜b＜c. （2）函数f（x）＝x＋5x在（0，＋∞）上单调递增，且f（0）＝1，f（1）＝6，可得0＜a＜1；函数f（x）＝x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增，且f（3）＝3＋log23＜5，f（4）＝4＋log24＝6，可得3＜b＜4；函数f（x）＝x＋x3在（0，＋∞）上单调递增，且f（1）＝2，f（2）＝2＋23＝10，可得1＜c＜2，所以b＞c＞a. 【例4】　（1）C　（2）B　解析：（1）取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则ac＝，bc＝，∴ac＞bc，故A错误；abc＝4×＝，bac＝2×＝，∴abc＞bac，故B错误；logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc＜blogac，logac＞logbc，故C正确，D错误. （2）取x＝，则a＝＞1，b＝ln＜0，0＜c＝（）3＜1，所以a＞c＞b.故选B. 【例5】　D　∵＝log312＝1＋log34＝1＋＝1＋，＝log540＝1＋log58＝1＋＝1＋，∴－＝－＝＝ ＝＜0，∴＜，又b＞0，c＞0，∴b＞c；∵＝1＋log58＜1＋log5＝1＋log5＝，∴c＞，∵＝log26＝1＋log23＞1＋log2＝1＋log2＝，∴a＜，∴a＜c.∴a＜c＜b. 【例6】　（1）B　（2）D　解析：（1）法一　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f（t），y＝3t－3＝g（t），z＝5t－5＝h（t），在同一平面直角坐标系中画出函数f（t），g（t），h（t）的图象，由图可知x，y，z的关系不可能为x＞z＞y，故选B. 法二　令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，y＝，z＝，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选B. （2）不妨令5x＝6y＝log7z＝k（k＞0），设f（x）＝5x，g（x）＝6x，h（x）＝log7x，p（x）＝k，在同一坐标系中分别作出函数f（x），g（x），h（x），p（x）的图象（如图所示），由图象可知z＞x＞y.故选D. 强化训练 1.A　a＝log0.42＝，b＝log0.32＝，由y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，得log20.3＜log20.4＜0，所以＜＜0，所以a＜b＜0，由c＝0.30.4＞0，得a＜b＜c. 2.D　由于a＝＝21.1＞2，b＝40.6＝21.2＞21.1＝a＞2，c＝log38＜log39＝2，所以c＜a＜b. 3.B　由log2a＝⇒＝⇒＝，同理＝，＝，构造函数f（x）＝，f'（x）＝，当x＞e时，f'（x）＝＜0，当0＜x＜e时，f'（x）＝＞0，可得函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，而2＜e＜3＜4，又由＝，a≠2，c≠4，可得a＝4，c＝2，9＞8⇒2ln 3＞3ln 2⇒＞，又由e＜3，b≠3及f（x）的单调性，可知2＜b＜e，故c＜b＜a.故选B. 4.B　由（）a＝log2a，则a为y＝（）x与y＝log2x交点的横坐标，同理，b为y＝（）x与y＝x2交点的横坐标，c为y＝（）x与y＝交点的横坐标，作出y＝（）x，y＝log2x，y＝x2，y＝的图象如图所示，由图可知，c＜b＜a.故选B. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $