第十二讲 分式不等式与简单的高次不等式-【优化指导】2024年初升高数学衔接教材

9.解下列不等式: (1)(3x-1)(x+1)<0; (2)(2x-3)(x+2)>0. 10.已知不等式x2-ax+b<0的解集是2<x <3,求a,b的值,并解不等式ax2-bx+1 ≤0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ❘第十二讲❘ 分式不等式与简单的高次不等式 一、不等式的概念 1.用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式. 2.分子、分母都是整式,并且分母含有未知数的 不等式叫做分式不等式. 3.对于一个含有未知数的不等式,任何一个适 合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不 等式的解;对于一个含有未知数的不等式,它 的所有解的集合叫做这个不等式的解的集 合,简称这个不等式的解集. 4.求不等式的解集的过程,叫做解不等式;使不等 式成立的未知识数的值的集合叫做不等式的解 集;不等式组中,各个不等式的解集的交集叫做 不等式组的解集;如果两个不等式的解集相等, 那么这两个不等式就叫做同解不等式. 5.一元不等式组解集的确定方法,可以归纳以 下四种类型(a<b): ① x>a x>b 的解集是x>b(同大取大),如图甲. ② x<a x<b 的解集是x<a(同小取小),如图乙. ③ x>a x<b 的解集是a<x<b(大小交叉取中 间),如图丙. ④ x<a x>b 无解(大小分离解为空),如图丁. 甲 乙 丙 丁 第十二讲一元不等式图示 不等式的有关性质: 如果a>b,b>c,那么a>c; 如果a>b,那么a+c>b+c; 如果a>b,c>0,那么ac>bc,ac> b c ; 如果a>b,c<0,那么ac<bc,ac< b c. 1.解分式方程 x2x-1+ 2 1-2x=3 时,去分母化 为一元一次方程,正确的是 ( ) A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1) 2.分式方程 1x+2=1 的解是 ( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 050 3.关于x的分式方程 mx-2- 3 2-x=1 有增根, 则m 的值 ( ) A.m=2 B.m=1 C.m=3 D.m=-3 4.方程12x= 2 x-3 的解是 . 5.方程 xx-1= x-1 x+2 的解是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在初中,我们学习了分式以及一元一次不 等式(组)的解法,但是在高中的学习中我们还 要大量涉及分式不等式以及高次不等式,为此 我们必须把这部分的知识衔接上,掌握分式不 等式和高次不等式的解法. 二、分式不等式 1.分式不等式:分母中含有未知数的不等式叫 做分式不等式,如1 x>0 ,2x x-1>2 等. 2.分式不等式解法的基本思路: 将分式不等式转化为整式不等式,即 f(x) g(x)>0⇔f (x)g(x)>0, f(x) g(x)<0⇔f (x)g(x)<0. 3.分式的符号法则:分子、分母与分式本身的符 号,改变其中任何两个,分式的值不变. 三、一元高次不等式的解法 次数大于2的整式不等式,称为高次不等 式,高次不等式通过分解因式处理后,可化 为如下形式(设a>0): a(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0,① a(x-x1)(x-x2)…(x-xn)<0,② 根据x1<x2<…<xn,在数轴上标出x1,x2, …,xn.这几个点将数轴分为n+1个区间: (-∞,x1),(x1,x2),…,(xn-1,xn),(xn, +∞).然后画波浪线,具体方法是从数轴右 上方开始,波浪线依次穿过x1,x2,…,xn 对 应的点. 第十二讲一元高次不等式图示 不等式①的解集为数轴上方区间的并集. 不等式②的解集为数轴下方区间的并集. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点1 简单分式不等式的解法 解不等式:3x-1 x+1<0. [针对训练1-1] 解下列不等式: (1)2x-3x+1<0 ;(2) x+3 x2-x+1 ≥0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 051 解不等式:1 x+2≤3. [针对训练1-2] 解下列不等式: (1)5x>1 ;(2)2x-1x+2≥3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 衔接点2 简单的高次不等式的解法 解不等式:(x-1)(x+2)(x-3)>0. [针对训练2-1] 解不等式:(x-3)(x+1)· (x2+4x+4)≤0. 解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. [针对训练2-2] 解不等式:(1)x-2<3x ; (2)(x2-7x+12)(6-x-x2)<0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 052 衔接点3 可化为高次不等式的分式不等式的解法 解不等式:x 2+2x-3 -x2+x+6 <0. [针对训练3-1] 解不等式: x 3-1 (x+2)(x-3) ≥0. 1.不等式x+1x-1>0 的解集是 ( ) A.x|x>-1 B.x|-1<x<0 C.x|x>1 D.x|x>1或x<-1 2.与不等式x-2x+3>0 同解的不等式是 ( ) A.(x-2)(x+3)>0B.(x-2)>0 C.(x-2)(x+3)<0 D.(x+3)>0 3.不等式2x+1x+2<1 的解集是 ( ) A.x|x<1 B.x|x<-1 C.x|-2<x<1 D.x|x>1或x<-2 4.不等式x 2-x-6 x-1 >0 的解集为 ( ) A.x|x<-2或x>3 B.x|x<-2或1<x<3 C.x|-2<x<1或x>3 D.x|-2<x<1或1<x<3 5.不等式1+x> 11-x 的解集为 ( ) A.x|x>0 B.x|x≥1 C.x|x>1 D.x|x>1或x=0 6.不等式2-xx+4>0 的解集是 . 7.不等式 x-2 x2+3x+2 >0的解集是 . 8.不等式x-1x+2>1 的解集是 . 9.解不等式: (1)3x+13-x>-1 ; (2)x-1x+1< x+1 x-1 ; (3)2x-33x-4≤2 ; (4)x+3 x2+1 ≥1. 10.解不等式:(-x2+x+12)(x+a)<0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 053 解析:由题意得6x2+x-2≥0, 即(2x-1)(3x+2)≥0,解得x≥12 或x≤-23. 9.解:(1)由题意得 3x-1>0 x+1<0 ①或 3x-1<0x+1>0 ②, 解不等式组①无解, 解不等式组②得-1<x<13. (2)由题意得x<-2或x>32. 10.解:由已知得2,3是方程x2-ax+b=0的两个根, 根据根与系数的关系得2+3=a,2×3=b, 所以a=5,b=6. 所以不等式ax2-bx+1≤0为5x2-6x+1≤0, 即(5x-1)(x-1)≤0,解得15≤x≤1. 第十二讲 分式不等式与简单的高次不等式 归纳初中知识 回顾训练 1.C 解析:两边同时乘以(2x-1),得x-2=3(2x-1). 故选C. 2.B 解析:去分母得1=x+2,移项,合并同类项,得 x=-1,经检验,x=-1是原分式方程的解.故选B. 3.D 解析:去分母得m+3=x-2,由分式方程有增根, 得到x-2=0,即x=2,把x=2代入整式方程得m+3 =0,解得m=-3,故选D. 4.x=-1 解析:化简12x= 2 x-3 得x-3=4x,则-3x= 3,所以x=-1,经检验x=-1是原方程的根. 5.x=14 解析:去分母,得x(x+2)=(x-1)2,去括号, 得x2+2x=x2-2x+1,移项、合并同类项,得4x=1, 系数化为1,得x=14. 检验,当x=14 时,(x-1)(x+ 2)≠0,故x=14 是原分式方程的根. 衔接高中知识 衔接点1 例1-1 解:(方法一)对分母x+1的正、负情况进行 讨论. ①当x+1>0,即x>-1时,不等式两边同时乘以(x +1), 原不等式化为 x+1>0, 3x-1<0, 解得-1<x<13; ②当x+1<0,即x<-1时,不等式两边同时乘以 (x+1),原不等式化为 x+1<0, 3x-1>0, 此不等式组无解. 综上所述,原不等式的解集为-1<x<13. (方法二)由商的符号法则,可将分式不等式转化为一 元二次不等式. 原不等式化为(x+1)(3x-1)<0. 由一元二次不等式的解集可知-1<x<13. 故原不等 式的解集为-1<x<13. 【规律方法】(1)ax+bcx+d<0⇔ (ax+b)(cx+d)<0; ax+b cx+d>0⇔ (ax+b)(cx+d)>0. (2)ax+bcx+d ≤0⇔ (ax+b)(cx+d)≤0 cx+d≠0 ax+bcx+d ≥0 ⇔ (ax+b)(cx+d)≥0 cx+d≠0. [针对训练1-1] 解:(1)原不等式可化为(2x-3)(x+1) <0⇒-1<x<32 ,所以原不等式的解为-1<x<32. (2)因为x2-x+1= x-12 2 +34>0 ,原不等式可化 为x+3≥0⇒x≥-3,所以原不等式的解为x≥-3. 例1-2 解:原不等式可化为 1x+2-3≤0⇒ -3x-5 x+2 ≤0⇒ 3x+5 x+2≥0⇒ (3x+5)(x+2)≥0 x+2≠0 ⇒x<-2或x≥-53,所 以原不等式的解集为 x x<-2或x≥-53 . 【规律方法】此类不等式的求解方法是将不等右边的常 数移到左边,再通分,转化为例题1-1的形式求解. [针对训练1-2] 解:(1)原不等式可转化为5-xx >0⇒ x(x-5)<0⇒0<x<5,所以原不等式的解为0<x<5. (2)原不等式可转化为2x-1x+2-3≥0⇒ x+7 x+2≤0⇒-7 ≤x<-2,所以原不等式的解为-7≤x<-2. 衔接点2 例2-1 解:(方法一:列表法)①检查各因式中x的符号 均正; ②求得相应方程的根为-2,1,3; ③列表如下: x<-2 -2<x<11<x<3 x>3 x+2 - + + + x-1 - - + + x-3 - - - + 各因式积 - + - + ④由上表可知,原不等式的解为-2<x<1或x>3. 【规律方法】此法叫列表法,解题步骤是:①将不等式化 为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)的形式(各项x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 080 的系数化为正数),令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0, 求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数 轴分成两部分,n个分界点把数轴分成n+1部分;②按 各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相 应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自 上而下排列); ③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号;④ 看下面各因式积的符号写出不等式的解集. (方法二:穿根法) ①(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是-2,1,3,在数轴上 表示这三个数; ②由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点: 例2-1题答图(1) ③若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x轴上方的区间; 若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间. 由图可知,原不等式的解为-2<x<1或x>3. 【规律方法】此法叫穿根法,解题步骤是:①将不等式化 为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)的形式,并将 各因式x的系数化“+”;②求根,并在数轴上表示出 来;③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点;④若 不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴 上方的区间,若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方 的区间. 例2-1题答图(2) 注意:奇穿偶不穿. [针对训练2-1] 解:①将原不等式化为 (x-3)(x+1)·(x+2)2≤0; ②求得相应方程的根为-2(二重),-1,3; ③在数轴上表示各根并穿线,如图: 针对训练2-1题答图 ④所以原不等式的解是-1≤x≤3或x=-2. 例2-2 解:①检查各因式中x的符号均正; ②求得相应方程的根为-1,2,3(注意:2是二重根,3 是三重根); ③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方 开始),如图: 例2-2题答图 ④所以原不等式的解为-1<x<2或2<x<3. 【规律方法】因为3是三重根,所以在C处穿三次,2是 二重根,所以在B处穿两次,结果相当于没穿.由此看 出,当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n 时,n为奇数时, 曲线在x1 点处穿过数轴;n为偶数时,曲线在x1 点处 不穿过数轴,归纳为“奇穿偶不穿”. [针对训练2-2] 解:(1)x 2-2x-3 x <0⇒x (x+1)(x- 3)<0⇒x<-1或0<x<3: 针对训练2-2(1)题答图 所以原不等式的解为x<-1或0<x<3. (2)(x+3)(x-2)(x-3)(x-4)>0: 针对训练2-2(2)题答图 所以原不等式的解集为{x|x<-3或2<x<3或x> 4}. 衔接点3 例3-1 解:由x 2+2x-3 -x2+x+6 <0,得 (x2+2x-3)(-x2+x+6)<0, (x+2x-3)(x2-x-6)>0, (x+3)(x-1)(x-3)(x+2)>0, 零点为-3,-2,1,3. 例3-1题答图 由图可知,原不等式的解集为x<-3或-2<x<1或 x>3. 【规律方法】高次的分式不等式与简单的分式不等式的 解法相同,结合“穿根法”可使题目更容易计算,使用 “穿根法”应注意:x 的系数必须是正数,分清空实点, 奇穿偶不穿. [针对训练3-1] 解: (x-1)(x2+x+1) (x+2)(x-3) ≥0⇒ (x+2)(x-1)(x-3)≥0 x≠-2且x≠3 针对训练3-1题答图 所以原不等式的解为-2<x≤1或x>3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 081 衔接训练 1.D 解析:原不等式可化为 x+1>0 x-1>0 或 x+1<0x-1<0 解得 x|x<-1或x>1 ,故选D. 2.A 解析:由同号原理可直接得到A选项正确. 3.C 解析:先将原不等式化为2x+1x+2-1<0 ,即2x+1 x+2- x+2 x+2<0 ,化简得x-1 x+2<0 ,即(x-1)(x+2)<0,解得 -2<x<1,故选C. 4.C 解析:原不等式可化为 (x-3)(x+2) x-1 >0 , 即(x+2)(x-1)(x-3)>0, 解得-2<x<1或x>3,故选C. 5.C 解析:由题意可知,x≠1, 原不等式可化为1+x+ 1x-1= x2 x-1>0 , 解得x>1,故选C. 6.x|-4<x<2 解析:原不等式可化为x-2x+4<0 , 即(x-2)(x+4)<0,解得-4<x<2, 所以原不等式的解为-4<x<2. 7.-2<x< -1或 x>2 解析:原 不 等 式 可 化 为 x-2 (x+2)(x+1)>0 , 即(x-2)(x+2)(x+1)>0, 解得-2<x<-1或x>2, 故原不等式的解为-2<x<-1或x>2. 8.x|x<-2 解析:原不等式可化为x-1x+2-1>0 ,即 x-1 x+2- x+2 x+2>0 , 化简得 -3 x+2>0 ,所以x+2<0,所以x<-2, 故原不等式的解集为 x|x<-2 . 9.解:(1)原不等式可化为3x+13-x+1>0 ,即2x+4 x-3<0 , 等价于(2x+4)(x-3)<0,解得-2<x<3,所以原不 等式的解集为 x|-2<x<3 . (2)原不等式可化为x-1x+1- x+1 x-1<0 , 通分整理得 (x-1)2-(x+1)2 (x+1)(x-1) <0 , 化简得 -4x(x+1)(x-1)<0 ,即 x(x+1)(x-1)>0 , 等价于x(x+1)(x-1)>0,解得-1<x<0或x>1, 所以原不等式的解集为 x|-1<x<0或x>1 . (3)原 不 等 式 可 化 为2x-33x-4-2≤0 ,通 分 整 理 得 -4x+5 3x-4 ≤0 ,即4x-5 3x-4≥0 , 即 (4x-5)(3x-4)≥0, 3x-4≠0, 解得x≤54或x>43, 所以原不等式的解集为 x x≤54 或x>43 . (4)原不等式可化为x+3 x2+1 -1≥0,即x 2-x-2 x2+1 ≤0,即 x2-x-2≤0, 等价于(x+1)(x-2)≤0,解得-1≤x≤2,所以原不等 式的解集为 x|-1≤x≤2 . 10.解:(x+3)(x-4)(x+a)>0 ①当-a>4,即a<-4时,解集为(-3,4)∪(-a, +∞); ②当-3<-a<4,即-4<a<3时,解集为(-3,-a) ∪(4,+∞); ③当-a<-3,即a>3时,解集为(-a,-3)∪(4, +∞); ④当-a=4,即a=-4时,解 集 为(-3,4)∪(4, +∞); ⑤当-a=-3,即a=3时,解集为(4,+∞). 第三部分 衔接检测 衔接检测题(一) 1.C 解析:由 a2=-a,得a≤0,故选C. 2.D 解析:选项A,令a=1,b=-1,此时|a|=|b|.而a ≠b,故A错误; 选项B,令a=-2,b=1,此时|a|>|b|,而a<b,故B 错误; 选项C,令a=-2,b=1,此时a<b,而|a|>|b|.故C 错误; 选项D,若|a|=|b|,则a=±b,故D正确. 3.A 解析:因为方程2x2-6x+3=0的二次项系数a= 2,一次项系数b=-6,常数项c=3,所以根据韦达定 理得,x1+x2=3, x1x2= 3 2 , 所以1 x1 +1x2 = x1+x2 x1x2 =2.故选A. 4.D 解析:由题意可得顶点 -b2a,4ac-b 2 4a 在坐标轴 上,需有b=0或4ac-b2=0,经验证,故选D. 5.D 解析:函数y=2(x-1)2+2是将函数y=2x2 向上 平移2个单位,再向右平移1个单位得到的,故选D. 6.C 解析:y=-x2+4x+6开口向下,有最大值,当x= 2时有最大值10. 7.±4 3或-1 解析:因为|a|+|b|=5,a=-1,所以| b|=4,所以b=±4. 因为|1-c|=2⇒1-c=2或1-c=-2⇒c=-1或 c=3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 082