专题05 平面向量-文科数学学科素养与能力突破

学科思想 训练题组 分类讨论思想 例 已知a＝（1，2），b＝（–3，2），当k为何值时，ka＋b与a–3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 【思路分析】由a，b的坐标→求ka＋b，a–3b坐标→由向量共线的条件列方程组→求k的值→判断方向 【解析】由ka＋b＝（k–3，2k＋2）， a–3b＝（10，–4）． ∵ka＋b与a–3b平行， ∴（k–3）×（–4）–10（2k＋2）＝0，解得k＝–． 此时ka＋b＝–（a–3b）．a＋b＝– ∴当k＝–时，ka＋b与a–3b平行，并且反向． 【方法技巧】解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解． 1．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为___________，|a–b|的最大值为___________． 2．在△ABC中， =（2，3）， =（1，k），且△ABC的一个内角为直角，则k的值___________． 3．已知a＝（–2，–1），b＝（λ，1），若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为___________． 4．已知向量a，b求作向量c，使a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段能构成三角形吗？ 数形结合思想 例 已知 ，且 与 的夹角为 ，则 与 的夹角是___________， 与 的夹角是___________． 【思路分析】由题意画出图形，数形结合可得答案． 【解析】如图所示，作 ， ，则 ，[来源:Z|xx|k.Com] 以 为邻边作 ， 则 ， ， ． 因为 ，所以 为正三角形， 所以 ，即 与 的夹角为 ． 因为 ，所以平行四边形OACB为菱形， 所以 ， 所以 ， 即 与 的夹角为 ． 【方法技巧】（1）两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． （2）求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出夹角．学@科网 5．已知向量 =（2，0），向量=（2，2），向量 =（ cosα， sinα），则向量的夹角范围为（　　）与向量 A． [0， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ， ] 6．设x，y满足约束条件 ，向量a=（y–2x，m），b=（1，1），且a∥b，则m的最小值为 （　　） A．6