专题03 空间垂直问题的证明方法-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（五）

垂直是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中的纽带，常常起到承上启下的作用，垂直问题更是高考考查的热点问题，不少问题常常是以垂直为解题的突破口，下面具体剖析垂直关系的复习。 一．垂直的判定与性质 1．直线和平面垂直的判定方法 类别 语言表述 应用 判[来源:学科网ZXXK] 定 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直（定义）[来源:学科网][来源:学科网ZXXK] 证直线和平面垂直[来源:学科网] 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面（判定定理） 证直线和平面垂直 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面（推理1） /证直线和平面垂直 判定定理中，“相交”两字不能少，否则命题不成立．判定一直线垂直于一平面的方法是设法在平面中找出两条相交直线，然后证明一直线垂直于两相交直线即可．所以线面垂直的判定往往归为线线垂直的判定． 2.直线与平面垂直的性质 类别 语言表述 应用 判 定 如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直 证两条直线垂直 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行（推理2） 证两条直线平行 3.面面垂直的判定与性质 类别 语言表述 应用 判 定 根据定义证明两平面所成的二面角是直二面角 证两平面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 性 质 如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角 证两条直线垂直 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 特别提示：（1）面面垂直 线面垂直（线是其中一个平面内垂直于它们交线的一条直线）； （2） ，要过 内一点引平面 的垂线，只需过这一点作交线的垂线。（3）证明两个平面垂直的方法是：证明一个平面经过另一个平面的垂线。 二、温馨提示： 1.在证明两平面垂直时，一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据，并有利于证明，不能随意添加。如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的高（中线或角平分线）三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等. 2. 证明垂直主要方法是转化：图示表示为： 三．典例剖析 1、线线垂直证明 例1（2018•丰台区二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，A1D⊥平面ABC，AB=BC，平面BB1D与棱A1C1交于点E． （Ⅰ）求证：AC⊥A1B； （Ⅱ）求证：平面BB1D⊥平面AA1C1C； 【分析】（Ⅰ）推导出A1D⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面A1BD，由此能证明AC⊥A1B．（Ⅱ）推导出A1D⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面A1ACC1，由此能证明平面BB1D⊥平面AA1C1C． 证明：（Ⅰ）因为 A1D⊥平面ABC，所以 A1D⊥AC． 因为△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，所以 BD⊥AC． 因为 A1D∩BD=D，所以 AC⊥平面A1BD． 所以 AC⊥A1B． （Ⅱ） 因为 A1D⊥平面ABC，因为 BD⊂平面ABC，所以 A1D⊥BD． 由（Ⅰ）知 BD⊥AC．因为 AC∩A1D=D， 所以 BD⊥平面A1ACC1． 因为 BD⊂平面BB1D，所以 平面BB1D⊥平面AA1C1C． 【点评】本题考查线线垂直、面面垂直的证明，证明线线垂直一般通过证明线面垂直求得，证明面面垂直转化为线面垂直完成。 2、线面垂直证明 例2（2018•铜山区一模）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．求证：AB⊥平面EDC； 【分析】推导出CD⊥AC，从而CD⊥平面ABC，进而CD⊥AB，再求出CE⊥AB，CE⊥AB，由此能证明AB⊥平面EDC． 证明：∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD=90°， ∴CD⊥AC，∵平面ABC∩平面ACD=AC，CD⊂平面ACD， ∴CD⊥平面ABC， 又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB， ∵AC=BC，E为AB的中点，∴