专题03 空间几何体的表面积体积（一）-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析（三）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析 02空间几何体的表面积（体积）（一） [来源:学&科&网] 【考点梳理】 1．多面体的表(侧)面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 3．柱、锥、台和球的表面积和体积[来源:Zxxk.Com] 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝)h(S上＋S下＋ 球 S＝4πR2 V＝πR3 走进高考： 1．(2018年江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　 　． 2．（2018年天津）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M-EFGH的体积为　 　． 【典例剖析】 一.公式法 例1（2018•新课标Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　） A．12 π B．12π C．8 π D．10π 【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积． 解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形， 可得：4R2=8，解得R= ,则该圆柱的表面积为： ．故选：B． 【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，解决本题的关键是求得圆柱的底面半径和高。再利用公式求得表面积。 二.等体积法 等积变换法：①相同的几何体的体积相等：同一个几何体可以用不同的面做底（注意：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面）；液状物体的形状改变体积不变（比如：水在容器中形状可以多变）， ②等底面积等高的两个同类几何体的体积相等，体积相等的两个几何体叫做等积体。 例2（2018•南京建邺区一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D﹣A1BC的体积是　　． 【分析】由已知可得三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，分别求出三角形BCD的面积及A1 到平面BCC1B1的距离，再由等积法得答案． 解：如图，由题意可知，三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱． 如图，D为棱B1C1上任意一点，则 ． A1 到平面BCC1B1 的距离d= ．∴ ． 故答案为： ． 【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查利用等积法求多面体的体积，本题就是根据变换底面和高来证明相关的等量关系的.在三棱锥中，用换底面（同时也换高）的方法，常常能把复杂问题简单化、直观化. 三割补法 例3（2018•安徽模拟）如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF，现测得AB=20cm，AD=15cm，EF=30cm，AB与EF间的距离为25cm，则几何体EF﹣ABCD的体积为　　cm3． 【分析】所求几何体是非规则几何体，把几何体的体积分解为三棱锥A﹣DCE，A﹣EFC与B﹣AFC的体积，然后利用等积法求解． 解：如图，连接AC，EC，AF，∵AD⊥平面CDEF， ∴过D作DG⊥EF，连接AG，则AG⊥EF， ∵AD=15，AB与EF间的距离AG=25， ∴DC与EF间的距离DG= ．在等腰梯形EFCD中，∵EF=30，AB=DC=20，∴ EMBED Equation.DSMT4 [来源:学科网ZXXK] ∴ ， ， ∵ ． ∴几何体EF﹣ABCD的体积为VEF﹣ABCD=VA﹣DCE+VA﹣EFC+VB﹣AFC=1000+1500+1000=3500cm3．故答案为：3500． 【点评】本题考查利用等积法求多面体的体积，考查割补法在求解不规则几何体中的巧妙运用。 四构造法 例4如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（　　） A． B． C． D． 解：根据题意折叠后的三棱锥P-DAE是正四面体，它的棱长为1，由此正四面体可以构造正方体，如图所示，因为正方体的棱长是 ，所以正方体的体对角线长是 ，正方体的外接球也是