2018-2019人教A版高中数学选修2-1（练习+课件）：第二章2.4抛物线

第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方程 A级　基础巩固 一、选择题 1．抛物线y＝4x2的准线方程为(　　) A．x＝－1　　　　　　 B．y＝－1[来源:Zxxk.Com] C．x＝－ D．y＝－ 答案：D 2．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　) A．(0，2) B．(0，1) C．(2，0) D．(1，0) 解析：由题意，y2＝4x的焦点坐标为(1，0)． 答案：D 3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝8x B．x2＝y C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定 解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，将点(2，4)代入可得p＝4或p′＝，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y. 答案：C 4．过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　) A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y 解析：由题意，知动圆圆心到点F(0，3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，所以所求的抛物线方程为x2＝12y. 答案：C 5．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上的点，若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M的横坐标为(　　) A．1 B．1或4 C．1或5 D．4或5 解析：因为点M到对称轴的距离为4， 所以点M的坐标可设为(x，4)或(x，－4)， 又因为M到准线的距离为5，[来源:学科网ZXXK] 所以或解得 答案：B 二、填空题 6．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程为________． 答案：y2＝16x或x2＝－8y 7．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________． 解析：因为|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3， 所以xA＋xB＝. 所以线段AB的中点到y轴的距离为.＝ 答案： 8．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________． 解析：xM＋1＝10⇒xM＝9. 答案：9 三、解答题 9．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：法一：设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|， 所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线， 所以＝3，所以p＝6. 所以圆心M的轨迹方程是y2＝12x. 法二：设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合[来源:Zxxk.Com] P＝{M||MA|＝|MN|}， 即＝|x＋3|，化简得y2＝12x. 所以圆心M的轨迹方程为y2＝12x. 10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m) 解：如图所示，建立平面直角坐标系． 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)． 依题意有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝. 故得抛物线方程为x2＝－y. 点B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝， 即|AB|＝＋1，，则|AB|＋1＝ 因此所求水池的直径为2(1＋)m，约为5 m， 即水池的直径至少应设计为5 m. B级　能力提升 1．以双曲线＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　　)－ A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x 答案：A 2．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________． 解析：将抛物线方程化成标准方程为 x2＝－4y， 可知焦点坐标为(0，－1)， 因为－3＜－， 所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P， 过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知， |MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|， 当且仅当点M在EQ上时取等号， 又|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4. 答案：4 3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为0.5 m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合． 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，