2018-2019数学新同步套餐（课件+讲义+习题）选修4-4苏教江苏专用版：4.4　参数方程 (共15份打包)

4.4.1　参数方程的意义 1．理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程． 2．通过常见曲线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义． [基础·初探] 1．参数方程的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数． 所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程反过来，对于t的每一个允许值，由函数式 2．求参数方程的一般步骤 (1)建立直角坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)； (2)选取适当的参数； (3)根据已知条件、图形的几何性质、物理意义等，建立点M的坐标与参数的函数关系式； (4)证明所求得的参数方程就是所求曲线的方程(通常省略不写)． [思考·探究] 1．从参数方程的概念来看，参数t的作用是什么？什么样的量可以当参数？ 【提示】　参数t是联系变数x，y的桥梁；可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．在选择参数时，要注意什么？ 【提示】　在选择参数时，要注意以下几点：①参数与动点坐标x，y有函数关系，且x，y便于用参数表示； ②选择的参数要便于使问题中的条件明析化； ③对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x，y取值范围的制约； ④若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消参． [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 点与曲线的位置 　已知曲线C的参数方程是(t为参数)． (1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系； (2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值． 【自主解答】　(1)把点M1(0,1)代入，得 解得t＝0，故点M1在曲线C上， 把点M2(5,4)代入，得 这个方程组无解， 因此点M2(5,4)不在曲线C上， (2)因为点M3(6，a)在曲线C上，所以故a＝9.解得 [再练一题] 1．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上，求常数a. 【解】　∵点M(5,4)在曲线C上， ∴解得： ∴a的值为1. 求曲线的轨迹方程 　如图4­4­1，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程． 图4­4­1 【自主解答】　法一　设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q. 如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP. 取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)． ∵OA＝， ∴BQ＝. ∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为 (0＜t＜a)． 法二　设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示． 取∠QBP＝θ， θ为参数(0＜θ＜)， 则∠ABO＝－θ. 在Rt△OAB中，OB＝acos(－θ)＝asin θ. 在Rt△QBP中，BQ＝acos θ，PQ＝asin θ. ∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为 )．(θ为参数，0＜θ＜ 求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程．当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数，使变量之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程． [再练一题] 2．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为rad/s.试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程． 【导学号：98990026】 【解】　如图所示，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x，y)对应时刻t， 由图可知t(t以s为单位)， 又θ＝ 故参数方程为(t为参数，t