2018-2019数学新同步套餐（课件+讲义+习题）选修4-2苏教江苏专用版：22.4 逆变换与逆矩阵 (共9份打包)

2.4.1　逆矩阵的概念 1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件. 2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB)－1＝B－1A－1等简单性质. 3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵. [基础·初探] 1.逆变换 二阶矩阵A对应着平面上的一个几何变换，它把点(x，y)变换到点(x′，y′).反过来，如果已知变换后的结果(x′，y′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原来的(x，y)，我们称它为原变换的逆变换. 2.逆矩阵 对于二阶矩阵A，B，若AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记作：A－1＝B. 3.逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是惟一的. (2)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1. (3)已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C. 4.逆矩阵的求法 一般地，对于二阶矩阵A＝，当ad－bc≠0，矩阵A可逆，且它的逆矩阵 A－1＝. [思考·探究] 1.2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什么？ 【提示】　恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射. 2.是否每个二阶矩阵都可逆？ 【提示】　不是，只有当，因为1×0－0×0＝0， 中ad－bc≠0时，才可逆，如当A＝ 找不到二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E成立， 故A＝不可逆. 3.若二阶矩阵A，B，C都是可逆矩阵，如何求(ACB)－1? 【提示】　根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得： (ACB)－1＝＝B－1(AC)－1＝B－1C－1A－1. [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵 　从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由. (1)A＝；；(2)B＝ (3)C＝. ；(4)D＝ 【导学号：30650035】 【精彩点拨】　→→ →→ 【自主解答】　(1)矩阵A对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标保持不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来的，因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标沿y轴方向伸长为原来的2倍，所对应的变换矩阵记为 A－1＝. (2)矩阵B对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x，y)→(x－2y，y).它存在逆变换：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x，y)→(x＋2y，y)，所对应的变换矩阵记为 B－1＝. (3)矩阵C对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线y＝x上，它不是一一映射，在这个变换下，直线y＝x上的点有无穷多个原象，而平面上除直线y＝x外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C不存在逆矩阵. (4)矩阵D对应的是绕原点逆时针方向旋转90°的旋转变换，因此它存在逆变换：绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为 D－1＝. 用几何变换的观点判断矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一般思路是：(1)弄清矩阵所对应的几何变换；(2)根据逆变换的定义判断该变换是否具有逆变换；(3)若有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵. 若将本例中矩阵变为下列矩阵，情况如何？ (1)A＝； (2)B＝； (3)C＝； (4)D＝. 【解】　(1)A＝.，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30°的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30°的旋转变换，故A－1＝ (2)矩阵B表示的是将平面内所有点垂直投影到x轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，所以不存在逆变换，故不存在逆矩阵. (3)矩阵C表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且.的切变变换，故C－1＝→的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且→ (4)矩阵D表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x轴方向拉伸为原来2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标