2018-2019数学新同步套餐（课件+讲义+习题）选修1-1苏教江苏专用版：第3章 导数及其应用 (共24份打包)

3.1　导数的概念 3.1.1　平均变化率 学习目标：1.理解并会求具体函数的平均变化率．(重点)　2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中说明平均变化率的实际意义．(难点) [自 主 预 习·探 新 知] 平均变化率 1．定义： 一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为. 2．实质： 函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3．意义： 刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． [基础自测] 1．判断正误： (1)f(x)＝x2，f(x)在[－1,1]上的平均变化率为0.(　　) (2)f(x)＝x2在[－1,0]上的平均变化率小于其在[0,1]上的平均变化率，所以f(x)在[－1,0]上不如在[0,1]上变化的快．(　　) (3)平均变化率不能反映函数值变化的快慢．(　　) 【解析】　(1)√.f(x)在[－1,1]上的平均变化率为＝0. ＝ (2)×.f(x)＝x2在[－1,0]和[0,1]上的变化快慢是相同的． (3)×.平均变化率能反映函数值变化的快慢． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)× 2．f(x)＝在[1,2]上的平均变化率为________． 【解析】　函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为.＝－ 【答案】　－ [合 作 探 究·攻 重 难] 变化率的概念及意义的应用 　2012年冬至2013年春，我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图3­1­1所示，据图回答： 【导学号：95902174】 图3­1­1 (1)2012年11月到2012年12月期间，小麦受旱面积变化大吗？ (2)哪个时间段内，小麦受旱面积增加最快？ (3)从2012.11到2013.2与从2013.1到2013.2间，小麦受旱面积平均变化率哪个大？ [思路探究]　(1)(2)根据图形进行分析；(3)利用平均变化率公式进行具体分析． 【自主解答】　(1)由图形可知，在2012年11月～2012年12月期间，小麦受旱面积变化不大． (2)由图形可知，在2013.1～2013.2间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增加最快． (3)从2012.11～2013.2，小麦受旱面积平均变化率为，所以，从2013.1～2013.2期间小麦受旱面积平均变化率大．＝yB－yC，显然yB－yC＞，从2013.1～2013.2，小麦受旱面积平均变化率为 [规律方法]　 1．若已知函数的图象，可从函数的图象上大致分析函数的变化快慢． 2．利用平均变化率的计算公式可以对函数的平均变化快慢进行具体精确的分析，在实际问题中，平均变化率具有更为具体的现实意义． [跟踪训练] 1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图如图3­1­2，同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 图3­1­2 【解】　山路从A到B高度的平均变化率为 hAB＝， ＝ 山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝， ＝ ∴hBC＞hAB. ∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多. 求函数的平均变化率 　已知函数f(x)＝， (1)求f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．(x0≠0)； (2)求f(x)在2到2.1之间的平均变化率. 【导学号：95902175】 [思路探究]　(1)由于自变量出现在分母中，因此题目中给出了“x0≠0”的条件．在一些特殊条件下，如果题干中未给出这一条件，就需分类讨论．因此，本例只需直接套用公式就可以了； (2)利用(1)的结论计算． 【自主解答】　(1)f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为. ＝－＝＝ (2)把x0＝2，Δx＝2.1－2＝0.1代入(1)中得到的结论可得：－＝－0.232. [规律方法]　 1．求平均变化率的步骤： (1)先求x2－x1，再计算f(x2)－f(x1)； (2)由定义得出. ＝ 2．注意事项：计算时要对f(x2)－f(x1)进行合理的变形，以便化简． [跟踪训练] 2．求函数y＝x2－2x＋1在x＝2附近的平均变化率． 【解】　设自变量x在x＝2附近的变化量为Δx， 则平均变化率为 ＝Δx＋2.＝ 平均变化率的应用 [探究问题] 1．平均变化率的定义式为表示的是函数f(x)在哪个区间上的平均变化率？，它刻画了函数f(x)在区间[x1，x2]内变化的快慢， 【提示】 　[x0－Δx，x0＋Δx] 2．平均变化率为0，能否说明函数没有发生变化？ 【提示】　不能说明．理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量Δx取值越小，越能准确地体现函数