专题09 坐标系与参数方程-2019年高考数学(理)新课标全国卷Ⅰ考点讲评与真题分析

2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析 9．坐标系与参数方程 一、考试大纲 1．坐标系 (1)理解坐标系的作用. (2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. (3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. (4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. (5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别. 2．参数方程 (1)了解参数方程,了解参数的意义. (2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. (3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程. (4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用. 二、考点讲评与真题分析 坐标系与参数方程的题目，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程和参数方程的简单应用，难度较小。直线与圆的位置关系考查较多，注意直线参数方程中参数的几何意义的应用。重点考查了数形结合的数学思想和转化与化归能力．解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解，解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程． 三、典型高考试题讲评 题型1 参数方程与普通方程的转化 （2014·新课标Ⅰ，23）已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）. (Ⅰ)写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （Ⅱ）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值. 【解析】(Ⅰ) 曲线C的参数方程为： （ 为参数）， 直线l的普通方程为： （Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos ,3sin )到l的距离为 ， 则 ，其中 为锐角．且 . 当 时， 取得最大值，最大值为 ； 当 时， 取得最小值，最小值为 . 【解题技巧】解决坐标系与参数方程相关问题，一般先根据题目已知条件将曲线的方程转化成同一坐标系下的方程，然后利用平面解析几何的方法进行计算求解即可。化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决. 题型2 极坐标方程与普通方程的转化 （2018·新课标Ⅰ，22）在直角坐标系xOy中，曲线 的方程为 。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （I）求 的直角坐标方程；（II）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程。 【解析】（1）由 ， 得 的直角坐标方程为 ． （2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆． 由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点． 综上，所求 的方程为 ． 【基本解法2】（代数法） 交点个数等于方程组解的个数和，显然每个方程组最多有两个解。所以只能一个组一个解，一组两个解。 经检验可知：当k=0时，曲线 的方程为 ，与圆只有一个交点，故舍去。 当 时，曲线 的方程为 ，与圆没有交点， 当 时，曲线 的方程为 ，与圆有且只有三个交点， 所以曲线 的方程为 。 [来源:Zxxk.Com] 三、高考真题分类汇编 2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ理科数学分类汇编 12．坐标系与参数方程 一、解答题 【2018，22】在直角坐标系xOy中，曲线 的方程为 。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （I）求 的直角坐标方程；（II）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程。 [来源:学科网] 【2017，22】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数）． （1）若 ，求 与 的交点坐标；（2）若 上的点到 的距离的最大值为 ，求 ． 【2016，23】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程