专题10 不等式选讲-2019年高考数学(理)新课标全国卷Ⅰ考点讲评与真题分析

2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析 10．不等式选讲 一、考试大纲 （一）不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1） （2） （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ； ； 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. （1） ； （2） ； （3） . (此不等式通常称为平面三角不等式.) 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式. 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式： ( ， ，n为大于1的正整数)，[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com] 了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. （二）基本不等式 1．基本不等式： (a≥0,b≥0) (1)了解基本不等式的证明过程. (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、考点讲评与真题分析 不等式选讲部分主要以考查以考查绝对值不等式的解法为主，偶尔也考查不等式证明的方法，经常与函数结合，考查数形结合和转化与化归思想是，考查去绝对值的方法是试题变化中不变的规律，基本不等式是考查不等式证明方法的主要依据；在求解过程中考查绝对值三角不等式的灵活应用能力。分析问题的方法是不等式证明的关键，关于不等式证明的方法，没有具体的知识点，只有方法要求，因此它的载体丰富多彩. 题型一 绝对值不等式的解法 例1 （2018·新课标I卷，23）已知 . （I）当 时，求不等式 的解集； （II）若 时不等式 成立，求a的取值范围. 解析：（I）依题意， ， 该不等式等价于 EMBED Equation.DSMT4 或 解得 ，即等式 的解集为 ； （II）依题意， ；当 时，该式化为 ，即 ， 即 ，即 ，故 在 上恒成立， 故 ，即a的取值范围为 . 【解题技巧】形如 (或 )型的不等式主要有两种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 ， ， (此处设 )三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集； (2)图像法：作出函数 和 的图像，结合图像求解. 不等式的恒成立问题是高考的重难点，此类问题一般有两种解法： （1）利用函数思想转化为函数的最值问题进行分析； （2）通过数形结合构造出两个函数，通过寻找临界状态得到参数的取值范围.[来源:学§科§网] 题型二 基本不等式的应用 例2 【2014，24）】若 ，且 . (Ⅰ) 求 的最小值；（Ⅱ）是否存在 ，使得 ？并说明理由. 【解析】：(Ⅰ) 由 ，得 ，且当 时等号成立， 故 ，且当 时等号成立， ∴ 的最小值为 . ……5分 （Ⅱ）由 ，得 ，又由(Ⅰ)知 ，二者矛盾， 所以不存在 ，使得 成立. ……………10分 题型三 不等式与参数问题 【2017，23】已知函数 ， ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集包含 ，求 的取值范围． 【解析】（1）当 时， ，是开口向下，对称轴 的二次函数． ，当 时，令 ，解得 ， 在 上单调递增， 在 上单调递减，∴此时 解集为 ． 当 时， ， ． 当 时， 单调递减， 单调递增，且 ． 综上所述， 解集 ． （2）依题意得： 在 恒成立．即 在 恒成立． 则只须 ，解出： ．故 取值范围是 ． 三、高考真题分类汇编 2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ理科数学分类汇编 13．不等式选讲 一、解答题 【2018，23】已知 . （I）当 时，求不等式 的解集； （II）若 时不等式 成立，求a的取值范围. [来源:学。科。网] 【2017，23】已知函数 ， ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集包含 ，求 的取值范围． 【2016，23】已知函数 ． （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出 的图像； （Ⅱ）求不等式 的解集． 【2015，24】已知函数 . （I）当 时求不等式 的解集； （II）若 的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 【2014，24）】若 ，且 . (Ⅰ) 求 的最小值；（Ⅱ）是否存在 ，使得 ？并说明理由. 【2013，24】已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g