专题03 函数与导数-2019年高考数学(理)新课标全国卷Ⅰ考点讲评与真题分析

2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析 3．函数与导数 一、考试大纲 1．函数 (1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数. (3)了解简单的分段函数,并能简单应用. (4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. (5)会运用函数图像理解和研究函数的性质. 2．指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景. (2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点. (4)知道指数函数是一类重要的函数模型. 3．对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. (2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点. [来源:学科网ZXXK] (3)知道对数函数是一类重要的函数模型. (4)了解指数函数 与对数函数 互为反函数( ，且 ). 4．幂函数 (1)了解幂函数的概念. (2)结合函数 ， ， ， ， 的图像,了解它们的变化情况. 5．函数与方程 (1)结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. (2)根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解. 6．函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 7．导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 8．导数的运算 (1)能根据导数定义求函数 ( 为常数)， ， ， ， ， 的导数. (2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如 的复合函数)的导数. 常见基本初等函数的导数公式： 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 常用的导数运算法则： 法则1： ； 法则2： ； 法则3： . 9．导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 10．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题. 11．定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义. 二、考点讲评与真题分析 函数与导数部分在新课标全国卷中占比非常大，小题部分主要考查函数的性质：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、定积分、零点等，这是重点内容。 其中，第12题、16题经常与导数结合作为难题，综合考查对函数的认识，考查数学思想方法，数学素养等综合能力。 解答题主要考查利用导数求含参函数的单调性问题、导数与极值的综合应用，重点考查分类讨论、数形结合的数学思想，难度较大，区分度较大，对学生的能力要求较高。导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． 题型一 函数的单调性及其应用 例1 （2017·新课标Ⅰ，5）函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：因为 为奇函数，所以 ，于是