专题04 三角函数与解三角形-2019年高考数学(理)新课标全国卷Ⅰ考点讲评与真题分析

2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析 4．三角函数与解三角形 一、考试大纲 1．任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念. (2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数 (1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. (2)能利用单位圆中的三角函数线推导出 ， 的正弦、余弦、正切的诱导公式， 能画出 y = sin x ,y=cosx,y= tanx的图像,了解三角函数的周期性. (3)理解正弦函数、余弦函数在区间[ 0,2π ]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间 内的单调性. (4)理解同角三角函数的基本关系式： ， . (5)了解函数 y =Asin(x+ )的物理意义；能画出 y =Asin(x+ )的图像,了解参数A,,对函数图像变化的影响. (6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 3．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 4．应用：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 二、考点讲评与真题分析 新课标全国卷对于三角函数的考查比较固定，一般考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形，一般是1小1大，或者3小题，一般考查考生转化与化归思想和运算求解能力。三角函数求值、三角恒等变换、三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值范围、图象变换等都是热门考点。解三角形问题也是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”． 题型一 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系 例1 (2014·新课标Ⅰ，理6)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角 的始边为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（ ） 【解析】：如图：过M作MD⊥OP于Ｄ，则 PM=，OM=,在中， MD=， ∴，选B. 【解题技巧】本题考查三角恒等变换，齐次化切. 题型二 三角函数的恒等变换 例2 （2015·新课标Ⅰ，2） （ ） A． B． C． D． 解析： ，选D．. 题型三 三角恒等变换与三角函数的值域 例3 (2018·新课标Ⅰ，理16)已知函数 ，则 的最小值是 . 【答案】 解析：方法一： ， 所以 ， 所以函数 的值域为 ，所以 的最小值为 方法二： EMBED Equation.DSMT4 ， . 方法三： EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 ，函数 在 单调递增； EMBED Equation.KSEE3 ，函数 在 单调递减； EMBED Equation.KSEE3 时，函数 有最小值， 即 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 . 题型四 三角函数的图形变换 例4（2017全国1理9）已知曲线，，则下面结论正确的是（ ）. A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 解析 ：首先曲线，统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理． ．横坐标变换需将变成，即 ． 注意的系数，左右平移需将提到括号外面，这时平移至， 根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．故选D. 【解题技巧】关于y＝Asin(ωx+φ)函数图像由y＝sinx的图像的变换，先将y＝sinx的图像向左(或右)平移|φ|个单位，再将其上的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的|个单位，原则是保证x的系数为1，同时注意变换的方法不能出错．倍，再将其纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍，也可先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是|φ|个单位，而是| 题型五 三角函数性质的综合应用 例5 （2016全国乙理12）已知函数 ， 为 的零点， 为 图像的对称轴，且 在 上单调，则 的最大值为（ ）.[来源:Zxxk.Com] A.