专题05 数列-2019年高考数学(理)新课标全国卷Ⅰ考点讲评与真题分析

2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析 5．数列 一、考试大纲 1．数列的概念和简单表示法 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式). (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数. 2．等差数列、等比数列 (1)理解等差数列、等比数列的概念. (2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式. [来源:Z+xx+k.Com] (3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. (4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 二、考点讲评与真题分析 数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰： （1）等差数列通向公式 及其前 项和 ； （2）等比数列通向公式 及其前 项和 ；[来源:学*科*网Z*X*X*K] （3）错位相减法、裂项相消法等求数列的前 项和等等． 数列在大学中有着特殊位置，《微积分》中的无穷级数，《数论》中扩展的数列都有涉猎，数列还是比较重要的知识。 今年没有出等比数列的知识，是比较不足的地方，望考生从等比数列和等差数列两方面出题，2019年若是在出数列，有可能出现“错位相减法求和”，因为考查学生运用数学思想去解决问题，考查考生的内在数学涵养。 题型一 等差数列与等比数列的基本量 例1 (2018·新课标Ⅰ，理4)记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ） A． B. C. D. 解析： 且 为等差数列 的前 项和. ，即 ，又 ， ， ， 故选B 【解题技巧】等差数列与等比数列的通项公式及前 项和公式，共涉及到五个量， ， ， 或 ， ， ，知道其中三个就可以求另外两个，体现方程的思想，在求解此类问题时，使用 ， 或 建立方程是基本方法。 题型二 等差、等比数列的性质及其应用 例2.（2012全国1，理5）已知{}为等比数列，，，则（ ） A．7 B．5 C．－5 D．－7 【解析】因为{}为等比数列，所以由已知得，解得或， 所以或，因此，故选择D．[来源:学§科§网] 【解题技巧】（1）等比数列中常用的性质： ；若 ，则 ． （2）等差数列中常用的性质： ；若 ，则 ． （3）在等差数列 中， 为其前 项和，则： ①数列 ， ， ，…也是等差数列； ② 为等差数列； ③ ； ； ④若 ， 分别是等差数列 ， 的前 项和，则 ． 题型三 证明数列是等差、等比数列 例3 （2014·新课标1，理17）已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数. (Ⅰ)证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由. 【解析】：(Ⅰ)由题设，，两式相减 ，由于，所以 …………6分 （Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知 假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得； 证明时，{}为等差数列：由知 数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列 令则，∴ 数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列 令则，∴ ∴（）， 因此，存在存在，使得{}为等差数列. ………12分 题型四 数列求通项与数列求和 例4.（2015全国1理17） 为数列 的前 项和，已知 ， . （1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和． 解析（1）由 ① 可得 ② 式①－式②得 ．又因为 ，所以 ． 当 时， ，即 ，解得 或 （舍去）， 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，通项公式为 ． （2）由 可得 EMBED Equation.DSMT4 ． 记数列 前 项和为 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 【解题技巧】（1）利用 与 的关系 求数列的通项公式，注意验证 是否满足； （2）裂项相消法求和是一种常见的数列求和方法，将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，从而达到求和的目的。常见的裂项相消的方式有： ① ；② ；③ ； ④ ； 三、高考真题分类汇编 2011年—2018年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案） 8．数列 一、选择题 【2018，4】记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ） A． B. C. D. 【2017，4】记为等差数列的前项和．若