2018-2019数学新学案同步（实用课件+精致讲义+精选练习）选修2-1苏教版：第3章　空间向量与立体几何（3.2） (共6份打包)

§3.2　空间向量的应用 3.2.1　直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2　空间线面关系的判定(一)——平行关系 学习目标　1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题． 知识点一　直线的方向向量与平面的法向量 思考　怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 答案　(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量． ②对于直线l上的任一点P，在直线上取＝a，则存在实数t，使得＝t. (3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理　(1)用向量表示直线的位置： 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量) 形式 在直线l上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝t 作用 定位置 点A和向量a可以确定直线的位置 定点 可以具体表示出l上的任意一点 (2)用向量表示平面的位置： ①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定： 条件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 形式 对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得＝xa＋yb ②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定： 平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量叫做平面α的法向量 确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的 (3)直线的方向向量和平面的法向量： 直线的方向向量 能平移到直线上的非零向量a，叫做直线l的一个方向向量 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量n，n叫做平面α的法向量 知识点二　利用空间向量处理平行问题 思考　(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系． (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案　(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)． (2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行． (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行． 梳理　(1)空间中平行关系的向量表示： 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 线线平行 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb(k∈R) 线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0 面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv(k∈R) (2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论． 1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(√) 2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×) 3．两直线的方向向量平行，则两直线平行．(×) 4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√) 类型一　求直线的方向向量、平面的法向量 例1　如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A－xyz，则D(0，，0)，E，B(1,0,0)，C(1，，0)， 于是＝，＝(1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 则即 所以令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)． 引申探究 若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量． 解　由例1解析图可知，P(0,0,1)，C(1，，0)， 所以＝(1，，－1)， 即为直线PC的一个方向向量． 设平面PCD的法向量为 n＝(x，y，z)． 因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)． 由即