选修2-1 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

3.2　空间向量的应用 3．2.1　直线的方向向量与平面的法向量 学习目标：1.理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)2.会用待定系数法求平面的法向量．(难点)3.平面法向量的设法．(易错点) 1．直线的方向向量 　我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量． 2．平面的法向量 　如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量． [基础自测] 1．平面α内一条直线l的方向向量为a＝(2,3，－1)，平面α的法向量为n＝(－1,1，m)，则m＝________. [解析]　易知a·n＝0，即－2＋3－m＝0，解得m＝1. [答案]　1 2．已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的法向量为________． [解析]　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则y＝1，z＝0，即n＝(1,1,0)， 则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)． [答案]　(1,1,0)(答案不惟一) 直线的方向向量及其应用 　(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________. (2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________． [思路探究]　(1)利用两直线的方向向量共线求解； (2)求点P的坐标．＝即是直线AB的一个方向向量，利用 [解析]　(1)由l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以，解得x＝－14，y＝6.＝＝ (2)＝(0,6,2)是直线AB的一个方向向量． 由AP∶PB＝3∶2，得.＝ 设P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝(0,6,2)， 即x－2＝0，y＝，，z－1＝2· 解得x＝2，y＝，，z＝ 所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标为. [答案]　(1)－14　6　(2)(0,6,2)　 [规律方法]　 1．应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个． 2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置. 求平面的法向量 　如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SBA与平面SCD的法向量． [思路探究]　因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n，再利用待定系数法求解． [解]　∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以是平面SBA的法向量，＝，C(1,1,0)，S(0,0,1)，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D，， 设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，有n⊥.＋λ＝0，∴λ＝－＝＝(1，λ，u)·，则n·，n⊥ n·.，∴n＝＋u＝0，∴u＝＝－＝(1，λ，u)· [规律方法]　 1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 2．求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0. [跟踪训练] 1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量． [解]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)． 设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，M.，N ∴.＝，＝ 设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)， ∴ 令y＝2， ∴x＝－3，z＝－4， ∴n＝(－3,2，－4). 证明平面的法向量 　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点． 求证：是平面ADE的法向量． [思路探究]　要证明是平面ADE的法向量，只需证明D1F⊥平面ADE即可． [解]　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则 D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E，，F 所以，＝，＝＝(－1,0,0)， 所以＝0，＝(－1,0,0)·· ＝0，·＝· 所以，又AD∩AE＝A，⊥，⊥ 所