选修2-1 3.2.2 空间线面关系的判定-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

3．2.2　空间线面关系的判定 学习目标：1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(重点)2.能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系．(重点、难点)3.向量法证明线面平行．(易错点) 　向量法判定线面关系 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表： 平行 垂直 l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2 l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1 α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2 [基础自测] 1．思考辨析 (1)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行． (　　) (2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行． (　　) (3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0. (　　) (4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．若直线l的方向向量为a＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n＝(2，－4，－6)，则直线l与平面α的位置关系是________． [解析]　∵n＝－2a，∴n∥a，又n是平面α的法向量，所以l⊥α. [答案]　垂直 3．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n1＝，则平面α与β的位置关系是________．，n2＝ [解析]　∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故α∥β. [答案]　平行 向量法证明平行问题 　在正方体ABCD­A1B1C1D1中(如图)，设O，O1分别为AC，A1C1的中点，求证： (1)BO1∥OD1； (2)BO1∥平面ACD1； (3)平面A1BC1∥平面ACD1. [思路探究]　→→→ →→ [解]　建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则有：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(2，2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，O1(1,1,2)，O(1,1,0)． (1)由上可知＝(－1，－1,2)，＝(－1，－1,2)， ∴，∥，∴＝ 又直线BO1与OD1无公共点，∴BO1∥OD1. (2)法一：由上可知，＝(－2,0,2)，＝(－2,2,0)， ∴，＋＝－ ∴共面，，， ∴∥平面ACD1，又BO1⊄平面ACD1， ∴BO1∥平面ACD1. 法二：设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y,1)，由∴得 ∴n＝(1,1,1)． ∴·n＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝0， ∴⊥n.又∵BO1⊄平面ACD1， ∴BO1∥平面ACD1. (3)法一：∵＝(－2,0,2)，＝(－2,0,2)， ∴，又BC1与AD1不重合，∥ ∴BC1∥AD1，又BC1⊄平面ACD1，∴BC1∥平面ACD1. 又由(1)知，BO1∥平面ACD1. ∵BC1，BO1⊂平面A1BC1，且BC1∩BO1＝B， ∴平面A1BC1∥平面ACD1. 法二：设平面A1BC1的一个法向量为n′＝(x，y,1)，由可求得n′＝(1,1,1)，∴n′＝n， ∴平面ACD1∥平面A1BC1. [规律方法]　 1．证明线面平行常用的方法 (1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面． (2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行． (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 2．证明面面平行常用的方法 (1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面． (2)证明两个平面的法向量平行． (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量． 提醒：直线与平面平行与向量与平面平行是有区别的，通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行．需要特别说明直线的方向向量不在平面内． [跟踪训练] 1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN∥平面A1BD. [证明]　法一：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则M，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，，N ∴＝(1,1,0)．＝(1,0,1)，，＝ 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则从而可得 令x＝1，得y＝－1，z＝－1， ∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)， ∴⊥n.·n＝0，∴ ∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD. 法二：∵.∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.∥，∴)＝－(＝