2018-2019数学新学案同步（实用课件+精致讲义+精选练习）选修2-1苏教版：第2章　圆锥曲线与方程（2.1-2.3） (共12份打包)

§2.2　椭　圆 2.2.1　椭圆的标准方程 学习目标　1.理解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的标准方程及其所对应的几何图形． 知识点　椭圆的标准方程 思考　在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？ 答案　不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定． 梳理　(1)椭圆标准方程的两种形式 焦点位置 标准方程 焦点 焦距 焦点在x轴上 ＋＝1(a>b>0) F1(－c,0)， F2(c,0) 2c 焦点在y轴上 ＋＝1(a>b>0) F1(0，－c)， F2(0，c) 2c (2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 (3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标： 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距F1F2＝2. 1．椭圆的标准方程只与a，b的大小有关．(×) 2．椭圆的标准方程中，有三个基本量，即a，b，c且a2＝b2＋c2.(√) 类型一　求椭圆的标准方程 例1　求焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q的椭圆的标准方程． 解　方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 依题意有 解得 由a>b>0知不合题意，故舍去． ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 ＋＝1(a>b>0)． 依题意有 解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 则解得 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 故椭圆的标准方程为＋＝1. 引申探究 求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程． 解　据题可设其方程为＋＝1(λ>－9)， 又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得 λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为＋＝1. 反思与感悟　1.若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)． 2．与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，λ>－b2)，与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，λ>－b2)． 跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10； (2)椭圆过点(3,2)，(5,1)； (3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)． 解　(1)设其标准方程为＋＝1(a>b>0)． 依题意得，2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)， 则解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 依题意得解得 ∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. 例2　已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程． 解　依题意得C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9， 设M(x，y)，动圆的半径为R， 则MC1＝1＋R，MC2＝9－R， 故MC1＋MC2＝10>6＝C1C2， 据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16. 故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1. 反思与感悟　用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值． 跟踪训练2　已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程． 解　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2， 不妨取PF1＝，PF2＝， 由椭圆的定义，知2a＝PF1＋PF2＝2. 即a＝. 由PF1>PF2知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴． 在Rt△PF2F1中，4c2＝PF－PF＝， ∴c2＝， ∴b2＝a2－c2＝. 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上， 故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 类型二　椭圆中焦点三角形问题 例3　已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积． 解