2018-2019数学新学案同步（实用课件+精致讲义+精选练习）选修1-1北师大版：第四章　导数应用 (共10份打包)

§1　函数的单调性与极值 1．1　导数与函数的单调性 学习目标　1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间． 知识点一　导函数的符号与函数的单调性的关系 思考1　f(x)＝x2在(－∞，0)上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的，那么f′(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上的函数值的大小如何？ 答案　当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 思考2　y＝f(x)在区间(a，b)上的单调性与y＝f′(x)在区间(a，b)上的函数值的正、负有何关系？ 答案　在区间(a，b)上，f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增加的； 在区间(a，b)上，f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上是减少的． 梳理　(1)在区间(a，b)内函数导数的符号与函数单调性有如下关系： 导函数的正、负 函数的单调性 f′(x)>0 增加的 f′(x)<0 减少的 f′(x)＝0 常函数 (2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 函数的单调性 导函数的正、负 增加的 f′(x)≥0 减少的 f′(x)≤0 常函数 f′(x)＝0 特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍是增加的(减少的情形完全类似)． (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0. 知识点二　函数的变化快慢与导函数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些． 1．函数的导数越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓”．(　×　) 2．函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　×　) 3．函数在某个区间上变化的越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　√　) 4．若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充要条件．(　×　) 5．若f(x)的图像在[a，b]上是一条连续曲线，且f(x)在(a，b)上f′(x)<0，则f(x)在[a，b]上是减少的．(　√　) 类型一　原函数和导函数图像之间的关系 例1　已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的(　　) 考点　函数变化的快慢与导数的关系 题点　根据原函数的图像确定导函数的图像 答案　C 解析　由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表： x (－1，b) (b，a) (a,1) f(x) ↘ ↗ ↘ f′(x) － ＋ － 由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图像在x轴下方．故选C. 反思与感悟　1.对于原函数图像，要看其在哪个区间内是增加的，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内是减少的，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像． 2．对于导函数的图像可确定原函数的递增(减)区间及增减快慢． 跟踪训练1　函数y＝f(x)在定义域内可导，其图像如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是(　　) A.∪[2,3) B.∪ C.)∪[1,2] D.∪∪ 考点　函数变化的快慢与导数的关系 题点　根据原函数图像确定导函数图像 答案　A 解析　求f′(x)≤0的解集，即求函数f(x)在上的递减区间．由题干图像可知y＝f(x)的递减区间为，[2,3)． 类型二　利用导数求函数的单调区间 例2　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1； (2)f(x)＝3x2－2ln x. 考点　利用导数研究函数的单调性 题点　不含参数求单调区间 解　(1) f′(x)＝6x2＋6x－36. 由f′(x)＞0，得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2； 由f′(x)＜0，解得－3<x<2. 故f(x)的递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 递减区间是(－3,2)． (2)函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝6x－＝2·. 令f′(x)>0，即2·>0， 解得x>. 令f′(x)<0，即2·<0， 解得0<x<. ∴f(x)的递增区间为， 递减区间为. 反思与感悟　求函数的单调区间的具体步骤 (1)优先确定f(x)的定义域． (2)计算导函数f′(x)． (3)解f′(x)>0和f′(x)