4.1 函数的单调性与极值（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

1.2　函数的极值 [选题明细表] 知识点、方法 题号 极值的概念 1,2,5 求函数的极值 10 已知极值求参数 3,4,6,8,9 极值的应用 7,11 基础巩固 1.下列结论中,正确的是(　B　) (A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在x0点附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值 (C)如果在x0点附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极小值 (D)如果在x0点附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极大值 解析:根据极值的概念,左侧f′(x)>0,单调递增;右侧f′(x)<0,单调递减,f(x0)为极大值.故选B. 2.若函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,则(　B　) (A)函数f(x)有1个极大值,2个极小值 (B)函数f(x)有2个极大值,2个极小值 (C)函数f(x)有3个极大值,1个极小值 (D)函数f(x)有4个极大值,1个极小值 解析:由导函数图像可知原函数的单调性为先增后减再增再减,最后增,所以原函数f(x)有2个极大值,2个极小值.故选B. 3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3处取得极值,则a等于(　D　) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:f′(x)=3x2+2ax+3. 因为f(x)在x=-3处取得极值, 所以f′(-3)=3×(-3)2+2×(-3)a+3=0. 所以a=5. 故选D. 4.函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是(　D　) (A)(0,3) (B)(-∞,3) (C)(0,+∞) (D)(0,) 解析:y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则y′=3x2-2a在(0,1)有零点,令y′=3x2-2a=0,得x=±. 由题意知,当a>0时,有∈(0,1),即0<<1,解得0<a<.当a≤0时,f′(x)>0在(0,1)上恒成立,f(x)在(0,1)内无极值,不符合题意.故选D. 5.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x= -2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图像可能是(　C　) 解析:由题意可得f′(-2)=0, 而且当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,此时xf′(x)>0,排除B,D;当 x∈(-2,+∞)时,f′(x)>0,此时若x∈(-2,0),xf′(x)<0,若x∈(0, +∞),xf′(x)>0,所以函数y=xf′(x)的图像可能是C.故选C. 6.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13,则实数m等于　　　　.  解析:y′=-3x2+12x, 由y′=0,得x=0或x=4, 容易得出函数极大值点为4, 所以-43+6×42+m=13,解得m=-19. 答案:-19 7.已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R). (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)a=1时,f(x)=(x2+x+1)ex, f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex, 当f′(x)>0时,解得x<-2或x>-1, 当f′(x)<0时,解得-2<x<-1, 所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-2),(-1,+∞); 单调减区间为(-2,-1). (2)令f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0,得x=-a或x=-2. 因为a≤2,所以-a≥-2. 列表如下: x (-∞, -2) -2 (-2, -a) -a (-a, +∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由表可知,f(x)极大值=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3, 解得a=4-3e2≤2,所以存在实数a≤2,使f(x)的极大值为3,此时a=4-3e2. 能力提升 8.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是(　D　) (A)(-1,2) (B)(-3,6) (C)(-∞,-1)∪(2,+∞) (D)(-∞,-3)∪(6,+∞) 解析:f′(x)=3x2+2ax+a+6, 因为f(x)有极大值与极小值, 所以f′(x)=0有两不等实根, 所以Δ=4a2-12(a+6)>0,所以a<-3或a>6.故选D. 9.已知函数f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数)在区间(1,+∞)上有两个极值点,则实数m的取值范围为　　　　.