4.1 函数的单调性与极值（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

1.2　函数的极值 数学 课标要求:1.结合函数图像,了解可导函数在某点取得极值的条件.2.理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 想一想 函数y=f(x)在x=-4,x=2,x=-2处的导数是多少? 实例:如图所示是函数y=f(x)的图像,根据函数图像 可得函数的递增区间为(-4,-2),(2,+∞),递减区间为(-∞,-4),(-2,2). (均为零) 数学 知识探究 1.函数的极值与极值点 (1)如图①所示,在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值. (2)如图②所示,在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都 x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值. 大于或等于 数学 (3)极大值与极小值统称为 ,极大值点与极小值点统称为 . 极值 极值点 2.函数的极值与导数符号的关系 (1) x (a,x0) x0 (x0,b) f′(x) + 0 - y=f(x) ↗ . ↘ 极大值 数学 (2) x (a,x0) x0 (x0,b) f′(x) - 0 + y=f(x) ↘ . ↗ 极小值 思考:导数为零的点一定是极值点吗? (可导函数的极值点一定是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点.如y=x3+1,在x=0处可导且导数值为0,但x=0不是极值点) 数学 3.求函数极值点的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域,并求出导数f′(x). (2)解方程f′(x)=0. (3)对于方程f′(x)=0的每一个解x0,分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性),确定极值点: ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”,则x0为 ; ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”,则x0为 ; ③若f′(x)在x0两侧的符号相同,则x0 . 极大值点 极小值点 不是极值点 数学 题型一 课堂探究·素养提升 求函数的极值 解:(1)f′(x)=2x-2,令f′(x)=0,解得x=1. 因为当x<1时,f′(x)<0, 当x>1时,f′(x)>0, 所以函数在x=1处取极小值,且f(x)极小值=-2,无极大值. [例1] 求下列函数的极值. (1)f(x)=x2-2x-1; 数学 解:(2)f′(x)=x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2, 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=1. 所以当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 无极值 ↗ 所以当x=0时,函数取得极小值,且f(x)极小值=-6,无极大值. 数学 (3)f(x)=|x|. 数学 题后反思 (1)求函数f(x)极值的一般步骤 ①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,左正右负为极大值,左负右正为极小值,左右符号相同不是极值. 数学 跟踪训练1-1:已知函数f(x)=ax3+48(a-2)x,a∈R.f′(2)=-36, (1)求a的值; (2)求f(x)的单调区间及极值. 解:(1)因为f′(x)=3ax2+48(a-2), f′(2)=3a×22+48(a-2)=-36,解得a=1. (2)由(1)f(x)=x3-48x, 所以f′(x)=3x2-48=3(x+4)(x-4), 令f′(x)=0,得x1=-4,x2=4, 令f′(x)<0,得-4<x<4, 令f′(x)>0,得x<-4或x>4, 所以f(x)的递减区间为[-4,4],递增区间为(-∞,-4)和(4,+∞), 所以f(x)极大值=f(-4)=128,f(x)极小值=f(4)=-128. 数学 题型二 已知函数极值求参数 [例2] 已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,求常数a,b的值. 数学 当a=1,b=3时, f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, 所以f(x)在R上是增加的, 无极值,故舍去. 当a=2,b=9时, f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). 当x∈(-3,-1)时,f′(x)<0