2018-2019数学新学案同步（实用课件+精致讲义+精选练习）选修1-1北师大版：第三章 章末复习+测试题 (共5份打包)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　利用导数的几何意义解题 1．求参数 例1　设曲线y＝f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________. 解析　根据导数的定义，＝＝＝2a＋aΔx，当Δx无限趋近于0时，2a＋aΔx无限趋近于2a，即f′(1)＝2a.又由曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，得2a＝2，即a＝1. 答案　1 2．求倾斜角 例2　求曲线y＝f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角． 分析　要求切线的倾斜角α，先要求切线的斜率k，再根据斜率k＝tan α，求出倾斜角α. 解　设曲线y＝f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为α， ＝ ＝＝(Δx)2－1， 当Δx无限趋近于0时，(Δx)2－1无限趋近于－1， 即tan α＝f′(1)＝－1. 因为α∈[0，π)，所以α＝.故切线的倾斜角为. 评注　切线的倾斜角α能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角α的取值范围． 3．求曲线的切线 例3　求在点P处与曲线y＝x3相切的切线方程． 分析　要求直线在点P处的切线方程，需求得过点P的切线的斜率k，然后根据点斜式可求得切线方程． 解　因为点P在曲线y＝x3上，Δy＝(2＋Δx)3－×23＝4Δx＋2(Δx)2＋(Δx)3， 所以＝4＋2Δx＋(Δx)2， 当Δx无限趋近于0时， 无限趋近于4，即k＝4. 故所求的切线方程为y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0. 评注　求在点P处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程． 4．求切点的坐标 例4　若曲线y＝f(x)＝x3＋1在点P处的切线的斜率为3，求点P的坐标． 分析　要求点P的坐标，可设点P的坐标为(x0，x＋1)，然后由切线的斜率为3，解方程求得． 解　设点P的坐标为(x0，x＋1)， 因为＝＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，当Δx无限趋近于0时，上式无限趋近于3x，所以3x＝3.解得x0＝±1. 故点P的坐标是(1,2)或(－1,0)． 评注　值得注意的是切点P的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错． 2　利用导数求切线方程 曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳． 1．已知切点，求曲线的切线方程 此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可． 例1　曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 解析　由f′(x)＝3x2－6x，知在点(1，－1)处的斜率k＝f′(1)＝－3.所以切线方程为y－(－1)＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故选B. 答案　B 2．已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2　求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程． 解　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2. 所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)， 即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)． 又知切线过点(1，－1)， 所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)． 解得x0＝1或x0＝－. 故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)， 或y－＝， 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. 点评　可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点． 3．已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例3　求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程． 解　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝－. 所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)， 即y－＝－(x－x0)． 又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程， 得－＝－(2－x0)． 解得x0＝1，y0＝＝1，即x＋y－2＝0. 点评　点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性． 4．求两条曲线的公切线 例4　已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－x2＋4x－4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程． 分析　设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解． 解　设l与C1相切于点P(x1，