2018-2019数学新学案同步（实用课件+精致讲义+精选练习）选修1-1北师大版：第三章　变化率与导数 (共8份打包)

§1　变化的快慢与变化率 学习目标　1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度． 知识点一　函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题： 思考1　怎样理解从点A到点B自变量x的增量、函数值y的增量？ 答案　(1)自变量的增量：用Δx表示，即Δx＝x2－x1，表示自变量相对于x1的“增加量”． (2)函数值的增量：用Δy表示，即Δy＝f(x2)－f(x1)，也表示为f(x1＋Δx)－f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”． (3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 思考2　函数f(x)在区间[x1，x2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案　(1)y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然． 梳理　函数的平均变化率的定义及作用 (1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为. 其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝. (2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． 知识点二　瞬时变化率 思考　瞬时速度与平均速度有何区别？ 答案　瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢． 梳理　瞬时变化率的定义及作用 (1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率． (2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢． 对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 1．Δx可正，可负，可为零．(　×　) 2．函数y＝f(x)的平均变化率为＝＝.(　√　) 3．函数y＝f(x)的平均变化率为＝＝.(　√　) 4．当Δx趋于0时，就趋于函数在x1处的瞬时变化率．(　√　) 类型一　函数的平均变化率 例1　求函数y＝f(x)＝x2在x分别从1到1＋Δx,2到2＋Δx,3到3＋Δx的平均变化率，当Δx都为时，哪一点附近的平均变化率最大？ 考点　平均变化率的概念 题点　求平均变化率 解　在x＝1附近的平均变化率为 k1＝＝ ＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为 k2＝＝ ＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为 k3＝＝ ＝6＋Δx. 当Δx＝时，k1＝2＋＝， k2＝4＋＝，k3＝6＋＝. 由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大． 反思与感悟　求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率＝. 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图像上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________. 答案　Δx 解析　(1)＝ ＝ ＝Δx. (2)求函数y＝f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值． 解　Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3－x ＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3， ∴函数y＝f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为 ＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2. 当x0＝1，Δx＝时， 平均变化率的值为3×12＋3×1×＋2＝. 类型二　求函数的瞬时变化率 例2　以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在t0时刻处的瞬时速度． 考点　瞬时变化率的概念 题点　瞬时速度 解　因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－ ＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2， 所以＝v0－gt0－gΔt. 当Δt趋于0时，趋于v0－gt0， 故物体在t0时刻处的瞬时速度为v0－gt0. 反思与感悟　1.求瞬时速度的步骤 (1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度v＝. (3)当Δt趋于0时，平均速度趋于瞬时速度． 2．求当Δx无限趋近于0时，的值 (1)在表达式中，可把Δx作为一个数来参加运算． (2)求出的表达式