2018-2019数学新学案同步（实用课件+精致讲义+精选练习）选修1-1北师大版：第二章　圆锥曲线与方程（2.2-2.3） (共10份打包)

§2　抛物线 2．1　抛物线及其标准方程 学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题． 知识点一　抛物线的定义 思考1　平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？ 答案　连接两定点所得线段的垂直平分线． 思考2　平面内，到一定点和一条定直线(点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢？ 答案　曲线． 梳理　(1)定义：平面内与一定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线． (2)焦点：定点F叫作抛物线的焦点． (3)准线：定直线l叫作抛物线的准线． 知识点二　抛物线的标准方程 思考　抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？ 答案　p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向． 梳理　抛物线的标准方程有四种类型 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 特别提醒：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项． (2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀： 焦点轴一次项，符号确定开口向； 若y是一次项，负时向下正向上； 若x是一次项，负时向左正向右． 1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　) 2．抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(　×　) 3．方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线．(　×　) 类型一　求抛物线的标准方程 例1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 过点(3，－4)； (2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 考点　抛物线的标准方程 题点　求抛物线方程 解　(1)方法一　∵点(3，－4)在第四象限， ∴设抛物线的标准方程为y2＝2p1x(p1>0)或x2＝－2p2y (p2>0)． 把点(3，－4)分别代入y2＝2p1x和x2＝－2p2y， 得(－4)2＝2p1·3,32＝－2p2·(－4)， 即2p1＝，2p2＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. 方法二　∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0)． 把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 反思与感悟　求抛物线的标准方程的关键与方法 (1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数． (2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程； ②直接根据定义求p，最后写标准方程； ③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数． 跟踪训练1　求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上； (3)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3. 解　(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，∵过点(－3,2)， ∴4＝－2p1(－3)或9＝2p2·2， ∴p1＝或p2＝. 故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y. (2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4， ∴抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0，－2)． 当焦点坐标为(4,0)时，＝4， ∴p＝8，此时抛物线方程为y2＝16x； 当焦点坐标为(0，－2)时，＝|－2|， ∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y. 故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y. (3)由题意知，抛物线标准方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)且p＝3. ∴抛物线的标准方程为x2＝6y或x2＝－6y. 类型二　求抛物线的焦点坐标和准线方程 例2　指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向． (1)y＝x2； (2)x＝ay2(a≠0)． 解　(1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y， ∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1，抛物线开口向上． (2)抛物线方程的标准形式为y2＝x， ∴2p＝. ①当a>0时，＝，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是，准线方程是x＝－； ②当a<0时，＝－，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是，准线方程是x＝－. 综上所述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－，当a>0时，