2018-2019数学新学案同步（实用课件+精致讲义+精选练习）选修1-1北师大版：第二章　圆锥曲线与方程（2.1） (共6份打包)

§1　椭圆 1．1　椭圆及其标准方程 学习目标　1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 知识点一　椭圆的定义 思考　给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？ 答案　在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆． 梳理　(1)定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距． (2)椭圆的集合表示 设M为椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为F1，F2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点M的集合，表示为{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|，a为常数}． 知识点二　椭圆的标准方程 思考　椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？ 答案　椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半．a，b，c始终满足关系式a2＝b2＋c2. 梳理　 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 1．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆．(　×　) 2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　×　) 3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　√　) 类型一　椭圆的标准方程 命题角度1　求椭圆的标准方程 例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B； (2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点． 考点　椭圆标准方程的求法 题点　待定系数法求椭圆的标准方程 解　(1)当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， ∵点A(0,2)，B在椭圆上， ∴解得 这与a>b相矛盾，故应舍去． 当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 ＋＝1(a>b>0)， ∵点A(0,2)，B在椭圆上， ∴解得 ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. 综上可知，椭圆的标准方程为x2＋＝1. (2)椭圆＋＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)， 可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)． 由椭圆的定义可得 2a＝＋， ∴2a＝12，即a＝6. ∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 反思与感悟　求椭圆标准方程的方法 (1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法 ①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程． 特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)． 跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)． 考点　椭圆标准方程的求法 题点　待定系数法求椭圆的标准方程 解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由椭圆的定义知， 2a＝ ＋ ＝2， 即a＝.又c＝2， ∴b2＝a2－c2＝6. ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设其标准方程为＋＝1(a>b>0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴∴ ∴所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)， ∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上， 代入得∴ ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 命题角度2　由标准方程求参数或其取值范围 例2　若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________． 考点　椭圆的标准方程 题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案　(0,1) 解析　∵方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆， 将方程改写为＋＝1， ∴有解得0<m<1. 反思与感悟　1.利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式． 2.＋＝1表示椭圆的条件是 表示焦点在x轴上的椭圆的条件是 表示焦点在y轴上的椭圆的条件是 跟踪训练2　(1)已知方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为________．