2018-2019数学新学案同步（实用课件+精致讲义+精选练习）选修1-1北师大版：第二章 章末复习+测试题 (共6份打包)

　　　　　　　　　　　　　　　　1　椭圆的定义在解题中的妙用 椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的简单性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值 例1　线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是(　　) A．2 B. C. D．5 解析　由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知，P点的轨迹是以M为中心，A，B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM长度的最小值是b＝. 答案　C 2．求动点坐标 例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是________． 解析　设椭圆上的动点为P， 由椭圆的定义可知， |PF1|＋|PF2|＝2a＝10， 所以|PF1||PF2|≤2＝2＝25， 当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号． 由 解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a， 此时点P恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为P(±3,0)． 答案　(±3,0) 点评　由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标． 3．求焦点三角形面积 例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． 解　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中， 由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② 将②代入①，得|PF1|＝. 所以＝|PF1||F1F2|·sin 120° ＝××2×＝， 即△PF1F2的面积是. 点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|. 从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　解抛物线问题的五个技巧 1．设而不求，整体处理 例1　已知抛物线y2＝－8x的弦PQ被点A(－1,1)平分，求弦PQ所在的直线方程． 解　设弦PQ的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有y＝－8x1，y＝－8x2. 两式相减，得y－y＝－8(x1－x2)， 即(y1＋y2)(y1－y2)＝－8(x1－x2)． ∵A是PQ的中点， ∴y1＋y2＝2， 即y1－y2＝－4(x1－x2)． ∴＝－4，即kPQ＝＝－4. 故弦PQ所在的直线的方程为y－1＝－4(x＋1)， 即4x＋y＋3＝0. 2．巧用定义求最值 例2　定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上移动，记AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离． 解　如图，AA′⊥l，MN⊥l，BB′⊥l， l为抛物线y2＝x的准线， 由抛物线方程y2＝x， 知2p＝1，＝. 设点M到y轴的距离为d， 则d＝|MN|－. 由抛物线的定义，知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|. 因为AA′，BB′，MN都垂直于准线， 所以AA′∥MN∥BB′， 所以MN是梯形AA′B′B的中位线． 于是|MN|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|AF|＋|BF|)． 若AB不过焦点，则由三角形的性质， 得|AF|＋|BF|>|AB|； 若AB过焦点F， 则|MN|＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝. 所以当AB过焦点F时，|MN|最小，此时d也最小， 此时d＝|MN|－＝－＝. 故点M到y轴的最短距离为. 3．巧设抛物线的方程 例3　抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且被直线y＝x＋1所截得的弦长为，求此抛物线的方程． 解　设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，则有 消去y，整理得x2＋(2－a)x＋1＝0. 设所截得的弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是方程的两个实根． 由根与系数的关系， 得x1＋x2＝a－2，x1x2＝1. 由弦长公式知，·＝， 即＝， 解得a＝－1或a＝5. 所以所求抛物线的方程为y2＝－x或y2＝5x. 4．巧设弦所在的直线的方程 例4　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2. 证明　当直线的斜率为0时，直线不会与抛物线有两个交点． 因为抛物线的焦点坐标为， 所以可设过焦点的直线方程为x－＝my， 即x＝my＋，代入y2＝2