第二章 圆锥曲线与方程 检测试题-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

第二章　检测试题 (时间:90分钟　满分:120分) [选题明细表] 知识点、方法 题号 椭圆的定义、方程及性质 3,4 双曲线的定义、方程及性质 2,14 抛物线的定义、方程及性质 1,5,7,11 直线与圆锥曲线的位置关系 8,9,13,15,16,17,18 圆锥曲线的综合问题 6,10,12 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.过点(1,-2)的抛物线的标准方程是(　C　) (A)y2=4x或x2=y (B)y2=4x (C)y2=4x或x2=-y (D)x2=-y 解析:①设焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=ax,将点(1,-2)代入可得a=4,故抛物线的标准方程为y2=4x. ②设焦点在y轴上的抛物线的方程为x2=by,将点(1,-2)代入可得b=-, 故抛物线的标准方程为x2=-y. 综上,过点(1,-2)的抛物线的标准方程是y2=4x或x2=-y. 故选C. 2.已知中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的离心率为,则它的渐近线方程为(　C　) (A)y=±2x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±x 解析:设双曲线方程-=1, 则渐近线方程为y=±x, 又====, 即渐近线方程为y=±x. 故选C. 3.已知椭圆+=1(a>5)的焦点为F1,F2,且离心率e=,若点P在椭圆上,|PF1|=4,则|PF2|的值为(　A　) (A)2 (B)6 (C)8 (D)14 解析:椭圆+=1(a>5)的焦点在x轴上,b=,c=,则离心率e==,即=, 解得a2=9,a=3, 所以椭圆的长轴长2a=6. 由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=6, 即|PF2|=2, 故选A. 4.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则该椭圆的离心率为(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:由题意知4b=2a+2c,所以4b2=a2+c2+2ac, 所以4(a2-c2)=a2+c2+2ac,所以5c2+2ac-3a2=0, 所以5e2+2e-3=0,所以e=或e=-1(舍去),故选B. 5.正数a,b的等差中项是,一个等比中项是2,且a>b,则抛物线y2=-x的焦点坐标为(　D　) (A)(-,0) (B)(-,0) (C)(,0) (D)(-,0) 解析:由题a+b=9,ab=20,又a>b, 则a=5,b=4,抛物线方程为y2=-x,焦点(-,0). 故选D. 6.若双曲线的顶点为椭圆x2+=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程是(　D　) (A)x2-y2=1 (B)y2-x2=1 (C)x2-y2=2 (D)y2-x2=2 解析:由题意设双曲线方程为-=1,离心率为e.椭圆x2+=1长轴的一个端点是(0,),所以a=. 因为椭圆x2+=1的离心率为, 所以双曲线的离心率e=,所以c=2, 所以b=, 则双曲线的方程是y2-x2=2. 故选D. 7.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为(　D　) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 解析:因为△OFM的外接圆与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切, 所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 因为圆面积为36π,所以圆的半径为6, 又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=, 所以+=6,p=8.故选D. 8.已知直线y=x与双曲线-=1交于A,B两点,P为双曲线上不同于A,B的点,当直线PA,PB的斜率kPA,kPB存在时,kPA·kPB等于(　A　) (A) (B) (C) (D)与P点位置有关 解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则由得y2=,则y1+y2=0,y1y2=-,x1+x2=0,x1x2=-4×.由于kPA·kPB=·= ===,即kPA·kPB为定值.故选A. 9.中心在原点,焦点坐标为(0,±5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为(　C　) (A)+=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1 解析:设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2), 中点为M(,y0), 把M(,y0)代入直线3x-y-2=0可得M(,-), 所以x1+x2=1,y1+y2=-1, 又焦点坐标为(0,±5), 所以可设椭圆方程为+=1(a>b>0), 把A,B两点代入得:+=1① +=1 ② ①-②整理可得:a2=3b2, 又a2-b2=c2=(5)2=50,所以a2=75,b2=25, 所以椭圆方程为+=1.故选C. 10.已知中心在原点、焦点在