2018-2019数学新学案同步（实用课件+精致讲义+精选练习）选修1-1人教B全国通用版：第三章　导数及其应用（3.1-3.2） (共10份打包)

§3.1　导　数 3．1.1　函数的平均变化率 学习目标　1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率． 知识点　函数的平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示． 自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)． 思考1　若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？ 答案　自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值y的改变量为y2－y1，记作Δy. 思考2　怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案　对山路AB来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度． 思考3　观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？ 答案　观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率． 梳理　(1)函数的平均变化率的定义 已知函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义， 令Δx＝x－x0；Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 则当Δx≠0，比值＝叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． (2)平均变化率的实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率． (1)在平均变化率的定义中，自变量x的增量Δx＞0.(　×　) (2)对于函数f(x)在区间[x1，x2]内的平均变化率也可以表示为.(　√　) (3)＝是f(x)在区间[x0，x0＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率，也可以说是f(x)在x＝x0处的变化率．(　×　) 类型一　求函数的平均变化率 例1　已知函数y＝f(x)＝3x2＋5，求f(x)： (1)在0.1到0.2之间的平均变化率； (2)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． 考点　 题点　 解　(1)因为f(x)＝3x2＋5， 所以在0.1到0.2之间的平均变化率为＝＝0.9. (2)Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5) ＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5 ＝6x0Δx＋3(Δx)2， 函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为 ＝＝6x0＋3Δx. 反思与感悟　求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率＝. 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5. ①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率； ②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率. (2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？ 考点　平均变化率的概念 题点　求平均变化率 解　(1)因为f(x)＝2x2＋3x－5， 所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx. ＝＝2Δx＋4x1＋3. ①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21. ②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92. ＝2Δx＋4x1＋3＝19.2. (2)在x＝1附近的平均变化率为 k1＝＝＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为 k3＝＝＝6＋Δx. 当Δx＝时，k1＝2＋＝， k2＝4＋＝，k3＝6＋＝. 由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大． 类型二　求物体的平均速度 例2　一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，求该质点在t＝1,2,3附近，Δt＝时，平均速度的值，并比较在哪一时刻附近的平均速度最大． 考点　 题点　 解　s(t)在t0到t0＋Δt之间的位移增量为s(t0＋Δt)－s(t0)＝(t0＋Δt)2＋1－(t＋1)＝2t0Δt＋(Δt)2， ＝＝2t0＋Δt， 将t0＝1,2,3，Δt＝分别代入上式得， 当t0＝1时，平均速度＝； 当t0＝2时，平均速度＝； 当t0＝3时，平均速度＝. 由上面的计算知，t＝3附近的平均速度最大． 引申探究 若该质点在2到2＋Δt之间的平均速度不大于5，则Δt(Δt＞0)的