2020北京空中课堂高二数学（人教B版选修1-1）-瞬时速度与导数（1）（课件+教案+学习任务单）

教 案 教学基本信息 课题 瞬时速度与导数（1） 学科 数学 学段：高中 年级 高二 教材 书名:普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1（B版） 出版社：人民教育出版社出版日期：2007 年 1 月 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 实施者 指导者 课件制作者 其他参与者 教学目标及教学重点、难点 一、教学目标： 1. 结合实例，理解瞬时速度的概念． 2. 会研究物体在某一时刻的瞬时速度． 3. 在理解瞬时速度的过程中，体会极限思想（无限逼近思想）与数形结合的方法． 二、教学重点： 瞬时速度的概念 三、教学难点： 极限思想的理解 教学过程 教学 环节 主要教学活动 设置意图 问题 引入 物体作匀速运动，则物体在每一时刻的速度均相同． 物体作变速运动，我们常常会说它的平均速度．例如，北京到天津的高铁距离为120km，行驶时间为半小时，则高铁的平均速度为240km/h．那么，究竟如何刻画作变速运动的物体在某一时刻的速度呢？ 下面，我们以匀变速运动为例进行研究． （一）创设情境，提出问题 问题：某跳台跳水运动员从起跳到入水的过程中，距离水面的高度(单位：m)与起跳后的时间(单位：s)存在函数关系，如何求该运动员在s时的速度呢？ 数理综合思考： （1）物体竖直上抛运动的运动方程是什么？ [参答：．] （2）在函数中，我们能读取一些什么信息？ [参答：初速度为4m/s，加速度为9.8m/s2，该运动员进行的是10米跳台跳水运动．还可求运动到达的最大高度以及所需时间，整个跳水过程所需时间．] （3）物理上怎么计算1s时的速度？ [参答：利用公式，当s时运动员的速度为.] （4）从数学上怎么理解公式呢？ [参答：这是我们本节课要研究的问题．] 提出问题，引发思考. 设置情境，激发兴趣． 从数学和物理已有的学科知识进行思考，学科综合，横向联系． 设置疑问，促进求知欲． 算法 形成 （二）寻找算法，剖析思路 （1）从生活经验中获取思路 生活中我们对物体在某一时刻的运动速度是有感觉的：比如，一辆汽车出发t0（单位：分钟）后到达A处，假如我们此时就站在A处的路旁，我们是能感受到汽车那一时刻速度的大小的． 那么，我们对汽车速度的感受与判断是如何完成的呢？ 其实，我们对汽车速度的感受与判断，不是仅仅对汽车在t0时刻这一点的运动作出的，而是对汽车从t0时刻前一小段时间到t0时刻的运动，或从t0时刻到t0时刻后一小段时间的运动感知的． （2）将生活素材数学化 设这“一小段时间”为∆t，并设汽车的位移s（单位：m）关于行驶时间t的函数关系为s=f(t)． 我们可以先研究汽车在t0到t0+∆t之间的平均速度，若这“一小段时间”∆t足够短，那么汽车在这一小段时间内的平均速度可以近似地认为是t0时刻的速度． （3）从特殊入手，研究变化规律 我们再来研究跳台跳水运动员在s时的速度： 先研究1右侧附近的情况．取一些具体的值来计算运动员在t0到t0+∆t之间的平均速度： ：． 然后取，0.001，0.000 1，0.000 01，…，依次计算的值，我们可以利用EXCEL的填充功能快速完成计算，得到如下结果： 同样，再研究1左侧附近的情况：取， 0.001，0.000 1，0.000 01，…，依次计算的值，得到如下结果： 由此可见，当时间改变量（间隔）越来越小时，平均速度趋于常数5.8，这个常数可视为该运动员在1 s时刻的速度．这里的“－”号表示运动员在这个时刻是的运动方向是竖直向下． （4）数形结合，直观理解变化趋势 我们把上面计算出来的平均速度用折线图表示，可以直观地看到趋近于5.8的过程． （5）抽象概括，发现规律 上面的系列计算过程我们可以用一般的演算过程来表达．我们先计算运动员在到1+∆t之间的平均速度： 这个平均速度可以看作是∆t的一次函数，而且是单调递减函数．无论是正是负，当无限趋于0时，平均速度趋于常数5.8．这与上面的计算规律完全吻合． 从学生的生活经验出发，寻找理解瞬时速度的切入点． 将生活经验数学化，用数学方法研究问题． 组织学生讨论运动员在s附近的平均速度和瞬时速度之间的关系，引导学生从已知探求未知的规律. 在计算过程中感受和观察逼近的趋势，用静态的计算刻画动态过程，体会极限思想. 数形结合，直观感受极限思想． 把一系列的具体计算过程进行抽象概括，可以一般地表达运算过程，发现普遍规律． 问题 解决 （三）方法迁移，解决问题 一般地，我们可以求运动员在任意t0时刻的速度．我们同样先求到之间的平均速度： 当无限趋于0时，上面这个平均速度趋于常数 ， 我们把它称为运动员在时刻的瞬时速度． 从特殊点推广到