2020年北京空中课堂高二数学人教B版选修1-1-：3.1.2瞬时速度与导数（2） (共3份打包)

教 案 教学基本信息 课题 瞬时速度与导数（2） 学科 数学 学段：高中 年级 高二 教材 书名:普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1（B版） 出版社：人民教育出版社出版日期：2007 年 1 月 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 实施者 指导者 课件制作者 其他参与者 教学目标及教学重点、难点 一、教学目标： 1. 经历由平均速度到瞬时速度、由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景以及瞬时变化率的几何意义，知道瞬时变化率就是导数． 2. 掌握导数的符号记法，会求简单函数在某一点处的导数． 3. 理解“导数”一词的两层含义，体会导数的思想及其内涵． 二、教学重点： 导数的概念 三、教学难点： 对开区间可导和闭区间端点不可导的理解 教学过程 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习 引入 （一）复习旧知，引入新知 上节课我们学习了瞬时速度． 在跳台跳水运动中，运动员在t0到t0+∆t时刻之间的平均速度为：=−9.8t0+4−4.9∆t． 也可以说，函数h(t)在t0到t0+∆t之间的平均变化率为−9.8t0+4−4.9∆t． 当∆t趋近于0时，平均变化率趋近于常数−9.8t0+4，这就是运动员在时刻的瞬时速度． 回顾复习瞬时速度，为讲瞬时变化率打下基础． 新课 讲解 （二）数理对比，类比定义 物理中的平均速度可以对应数学中“函数的平均变化率”．同样地，物理中的瞬时速度也可以对应数学中“函数的瞬时变化率”： 设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0附近改变∆x时，函数值相应地改变 ， 如果∆x趋近于0时，平均变化率 趋近于一个常数l，则数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率． （三）符号表示，概念生成 （1）符号表示： 用“→”表示“趋近于”，则函数的瞬时变化率可表示为： 当时，． 或者用极限符号表示为： ． （2）思考与交流： ① “极限”一词用符号“”表示，读为“”． ② 这里∆x→0的理解与“瞬时速度”中含义相同，表示是一个无限接近0的正数，但永远也不会等于0； ③ 与的区别：前者表示函数在到之间的平均变化率，后者表示平均变化率的极限．前者一般情况下不会等于l，后者就是l，所以极限符号表示中用“＝”，而不用“→”． ④ 函数瞬时变化率的几何意义： 在前面我们知道，我们平时所说的“坡度”一词的意思相当于函数的平均变化率． 实际上在地理中，坡度是指地表面上某一点的切面和水平面所成的夹角．这个角的正切值其实相当于函数在这一点的瞬时变化率，也可以理解为函数图象在这一点的切线的斜率． 所以，函数的瞬时变化率的几何意义可以理解为函数图象在这一点的切线的斜率． ⑤对比平均变化率与瞬时变化率： 试求下列函数在区间[0,1]上的平均变化率： ，，，． 据此，你有何感想？ 函数的平均变化率只能反映一个区间上的平均变化情况，瞬时变化率才能反映区间上每一点的变化情况． （3）概念生成： 函数在x0的瞬时变化率，通常就定义为在处的导数，并记作或． 于是有： ． （4）回顾与巩固： 变速运动的物体在时刻的瞬时速度，就是函数在点的导数，即；变速运动的物体在时刻的加速度，就是函数在点的导数，即． （四）特殊到一般，形成导函数的概念 当时，是一个确定的数；当变化时，一般也会随着变化．例如：跳台跳水运动员在时刻的瞬时速度为，当变化时，也随之变化． 对每个，都有唯一确定的的值与之对应．因此，可以看成的函数，其解析式为． 同样地，也可以看成的一个新函数． 一般地， 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数．于是在区间(a，b)内构成一个新的函数．我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数，简称为导数．记为： （或、）. （五）概念辨析，加深理解 （1）“导数”一词有两重含义：一是指函数在某一点处的导数值；二是指函数的导函数．今后，如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数． （2）在某一点的导数中，将替换为得到： ， 即为函数的导函数. （3）如果我们已经求出一个函数的导函数，再求某一点的导数值，这就变成了求函数值的问题． （4）对符号的理解：表示的意思是函数在点处的导数，也可以说是导函数在时的函数值．不表示的导数． （5）怎么理解函数在开区间(a，b)内每一点导数都存在？这里，为什么强调开区间？ 函数在开区间(a，b)内每一点导数都存在，意思是说存在．开区间不含端点，如果是闭区间，或者是半开半闭区间或，那么在所包含的端点处的极限不存在，因而函数在这一点不可导． （6）商的值与x有关吗？令，x是否应