【全国百强校Word】湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考（开学考试）数学（理）试题
长郡中学2019届高三月考试卷（一）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.若定义在
上的偶函数
满足
且
时，
，则方程
的零点个数是（ ）
A．个 B．个 C．
个 D．
个
4.计算
的结果为（ ）
A．
B．
C. 
D．
5.已知
、
、
是双曲线
上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线
、
的斜率乘积
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C. D．
6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量
（单位：千瓦·时）与气温
（单位：℃）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：
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瓦·时） |
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由表中数据得线性回归方程：
，则由此估计：当某天气温为℃时，当天用电量约为（ ）
A．
千瓦·时 B．
千瓦·时
C. 
千瓦·时 D．
千瓦·时
7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C.
D．
8.知平面向量
，
满足
，且
，
，则向量与夹角的正弦值为（ ）
A． B．
C. D．
9.设
，则“
”是“
”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如
.在不超过
的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是（ ）
A．
B．
C. 
D．
11.过抛物线
焦点的直线
与抛物线交于、两点，与圆
交于
、
两点，若有三条直线满足
，则
的取值范围为（ ）
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A．
B．
C. 
D．
12.设函数
，函数
，若对任意的
，总存在
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C.
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设
满足约束条件
，则
的最大值为 ．
14.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
，
，
，
，则按照以上规律，若
具有“穿墙术”，则
．
15.已知
是等比数列
的前
项和，若存在
，满足
，
，则数列的公比为 ．
16.如图，在边长为
（为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在
中，角、、的对边分别是
、
、
，且
.
（1）求角的大小；
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