打包（第01章）-学易试题君之K三关2018-2019学年高二数学人教版（必修5）

第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 1．正弦定理 在 中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即____________．正弦定理对任意三角形都成立． 2．解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的____________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________． K知识参考答案： 1． 2．元素 解三角形 K—重点 正弦定理的变形和推广、正弦定理在解三角形中的应用 K—难点 三角形解的个数的探究、三角形形状的判断 K—易错 解三角形时要明确角的取值范围，同时注意对角的讨论 正弦定理的常见变形及推广 （1） ． （2） ． （3） ． （4）正弦定理的推广： ，其中 为 外接圆的半径． （1）已知 ABC中， ，则 =_____________； （2）已知 ABC中， A ， ，则 =_____________． 【答案】（1） ；（2）2． 【解析】（1）根据正弦定理的变形，可得 ． （2）方法1：设 EMBED Equation.DSMT4 ，则有 从而 ，又 ，所以 =2． 方法2：根据正弦定理的变形，可得 ． 【名师点睛】熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的效果． 在 中，求证： ． 【答案】证明见解析． 【解析】设外接圆的半径为R，则 于是 所以 ． 【解题技巧】 的两种变形的应用： （1）（边化角） ； （2）（角化边） ． 正弦定理在解三角形中的应用、三角形解的个数的探究 1．正弦定理可以用来解决下列两类解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；学科网 （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．三角形解的个数的探究（以已知 和 解三角形为例） （1）从代数角度来看 ①若 ，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； ②若 ，则满足条件的三角形的个数为1； ③若 ，则满足条件的三角形的个数为1或2． 注：对于（3），由 可知B可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”、“三角形内角和等于180°”等进行讨论． （2）从几何角度来看 ①当A为锐角时： 一解 一解 两解 无解 ②当A为钝角或直角时： 一解 一解 无解 无解 （1）已知在 中， ，则 _______， _______， _______； （2）已知在 中， ，则 _______， _______， _______； （3）已知在 中， ，求 和 ． 【答案】（1） ， ， ；（2） ， ， ；（3）见解析． 【解析】（1） ， 由 得 由 得 ． （2）∵ ， ， 为锐角， ，∴ ． （3） ， 或 ， 当 时， ， 当 时， ． 或 ． 【解题技巧】（1）已知三角形的两角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边． （2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求这个角是锐角，①当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角；②当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，再分别求解即可；③然后由三角形内角和定理求出第三个角；④最后根据正弦定理求出第三条边． 三角形形状的判断 判断三角形形状的常用方法——边化角，已知条件中同时包含边角关系，判断三角形形状时，将边化为角，从三角变换的角度来研究角的关系和特征，进而判断三角形的形状．一般来说，这种方法能够判断的三角形都是特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形． 在 中，已知 ，且 ，则 是 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】设 的外接圆半径为 ，由正弦定理的推广，得 ， ， 代入，可得 ，即 ． 因为 ，所以 ， 即 ． 由正弦定理的推广可得 ，所以 ， 由及 可得 ，所以 是直角三角形． 故选B． 【名师点睛】注意到a，b，c在条件式中是齐次线性关系，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角．通过角的特征或者关系来判断三角形的形状． 忽略角的取值范围而出错 在 中，若 ，求 的取值范围． 【错解】由正弦定理，可得 ， ， 由 ，可得 ． 故 的取值范围为 ． 【错因分析】错解中没有考虑角 的取值范围，误认为角 的取值范围为 ． 【正解】由正弦定理可得 ， ， ，即 ， 故 的取值范围为 ． 【名师点睛】解三角形时要注意三角形的内角为正角且必须满足三角形内角和定理，这是解题中的隐含条件，应特别注意． 忽略对角的讨论而出错 已知在