2019高考数学考点突破——计数原理（理科专用）：二项式定理

二项式定理 【考点梳理】 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Cbn(n∈N*)； an－rbr＋…＋Can－1b＋…＋Can＋C (2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C.，…，C，C 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式 系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的 当k＞(n∈N*)时，是递减的 二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与取最大值 3．各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＝2n.＋…＋C＋C＋C (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋…＝2n－1.＋C＋C＋…＝C＋C＋C 【考点突破】 考点一、展开式中的特定项或特定项的系数 【例1】(1)的展开式中，常数项是(　　) A．－ D． C．－ B． (2)已知的项的系数为30，则实数a＝________.的展开式中含x [答案] (1) D (2) －6 [解析] (1)Tr＋1＝C.＝Cx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，∴常数项为C＝(x2)6－r (2)＝30，解得a＝－6..依题意，令5－2r＝3，得r＝1，∴(－a)1·C·x＝(－a)rC)5－r·(的展开式的通项为Tr＋1＝C 【类题通法】 1．求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可． 2．已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数． 【对点训练】 1．(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________(用数字作答). [答案] 10 [解析] 由(2x＋＝3得r＝4，此时系数为10.，令5－x5－)r＝25－rC(2x)5－r()5得Tr＋1＝C 2．已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________. [答案] 4 [解析] (1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C＝54，解得n＝4.x2，由题意得9C(3x)r，令r＝2，得T3＝9C 【例2