专题04 函数极值点与极值问题-突破江苏高考数学一卷140必备专题

1、 函数极值及极值点的定义 一般的，函数 在点 处及附近有定义，若果对于 附近所有点都满足 ，则 是函数 的极大值， 叫做函数 的极大值点； 若果对于 附近所有点都满足 ，则 是函数 的极小值， 叫做函数 的极小值点； 2、 函数极值及极值点的求解 求函数 的导函数 ，令 解得 ，判断导函数 在 处两侧的符号，若是异号，则 是函数 的极值点， 也就是函数 的极值。 若 在 两侧的符号满足先正后负，则 是函数 的极大值点， 是极大值；若 在 两侧的符号满足先负后正，则 是函数 的极小值点， 是极小值； 总结：通过极值点的定义我们可以知道其实极值点也是零点的一种，它只不过是导函数的零点。但极值点与导函数的零点又有区别，导函数 解得的 是 零点，但不一定是极值点，因为极值点还要满足第二个条件即 处 两侧的符号要改变。例如 ， 解得 ，但是 左右两侧 ，符号不改变，故 不是极值点，积 是单调增的。因此，我们在求解与极值点有关的试题时，可以先将极值点简单的看成导函数等于零的点，但是求出的导函数的零点要检验是不是极值点还要看导函数的符号有没有改变，有两种情况下导函数的零点不是极值点，一是函数区间的端点，因为区间的左端点只有右侧没有左侧，区间的右端点没有右侧只有左侧，就不可能满足左右两侧导函数的符号改变，二是满足导函数等于零的点，但是该点左右两侧导函数符号相同，比如刚刚举例的 ，我们把这样的点称为重根。即极值点可以看成导函数等于零的点，但这个点不能是端点，不能是重根，端点很容易看得出来，重根只能通过验证该点左右两侧导函数的符号去说明。学科%网 3、 例题讲解 例1、（2016淮安高三一模20）已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数． （3）讨论函数 极值点的个数． 解：由题意，可得 ,所以 只有一个极值点或有三个极值点 令 ， （为什么 只有一个极值点或有三个极值点？。令 的解有可能是一个、两个、三个，一个零点说明 是单调增的，三个零点说明 是先增后减， 的极大值大于零，极小值小于零，三个零点都是 的极值点。两个零点说明 是先增后减，若极大值大于零，则极小值就要等于零，那么 极小值点也是 的零点，但它不是 的极值点，因为左右两侧 都是大于零。若极大值等于零，则极小值就要小于零，那么 极大值点也是 的零点，但它不是 的极值点，因为左右两侧 都是小于零。不管是哪一种情况， 的极大