专题05 常见函数与导数中的不等关系-突破江苏高考数学一卷140必备专题

1、 拉格朗日中值定理 若函数 满足如下条件： （1） 在闭区间 上连续； （2） 在开区间 上可导； 则在区间 上至少存在一点 ，使得 几何意义：在闭区间 上有一条连续曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少存在一点 ，过点 的切线平行于割线 二、四类基本初等函数结论及推导 设函数 上任意两点 ，过 、 两点直线的斜率 ， 、 两点中点的横坐标为 ， 在中点横坐标处的切线斜率 ， 在 点处切线的斜率 ， 在 点处切线的斜率 注：下面论述中都是假设 ， 都与上述表示是一致的。 （1） 对于函数 ，则 学%科网 证明： （2） 对于函数 ，则 ， ， ， 证明： ，即 ，即 所以我们可以得到 图（1） 由图（1）可以看出割线的斜率大于 点处切线的斜率小于 点处切线的斜率，即 其实，我们也可以借助拉格朗日中值定理的几何意义去解释为什么上述的不等关系是成立的。对于 而言在区间 上是连续的，在区间 上是可导的，故在区间 上毕存在一点 ，使得过点 的切线斜率等于割线 斜率，即 ，又因为 在区间 是单调减函数，故 ，即 。 下面我们再用分析证明法证明 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 证明方法1：先用分析证明的思想 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 令 即证 在 恒成立 设 ，因为 所以 在区间 上是单调递增函数， ，即 ，得证。学&科网 评述：上述方法是令 ，其思想就是将两个元变成一个元，最后变成一个关于 的函数，运用导数判断单调性进而证明出结论。但并不是每一类函数都能够通过消元完成证明，后面讲正弦函数的时候你会发现换元法就不能很好的去发挥作用。因此在这里介绍证明的第二种方法。 证明方法2：既然我们假设的是 ，那么我们可以这样去想，将 看成是一个变化的常量，那么 就是区间 上的任意一个数，那么我们就构造出一个关于 的函数 ，令