专题06 函数与导数中的恒成立问题-突破江苏高考数学一卷140必备专题

函数与导数中的恒成立问题一直是历年高考、模考中的一个热点，是考察学生综合素质的一个好的题型。它主要涉及到基本初等函数的图像及性质，结合不等式，渗透着分类讨论、转化化归、数形结合、推理论证等数学思想。恒成立问题常见的处理方法是分离参变量，利用转化的数学思想将其转化为最值问题，再利用导数判断单调性求出最值，进而得出参数的范围。比如对于含有参数的函数 对于 上恒成立，利用参变分离转化为 或者 ，即 或 ，只需要运用导数求解 的最值就能解决。这种常见题型资料比较多，这里笔者不在累赘。学#科网 用此方法解题需要满足两个条件，一是分离参数是可行的，二是分离完后形成的新的函数用导数可以判断单调性求出最值。但是往往出题者想考察学生分类讨论，推理论证等数学思想，在题型的设置上就会让分离后的新函数无法简单的用导数判断单调性。就算可以判断出单调性，最值点也是在开区间的地方取到，那也要借助与高等数学中的洛必达法则求极限。笔者看到很多论文着重写洛必达法则在解决函数与导数中的恒成立问题的妙用，觉得并不太妥当，一是学生根本就不知道洛必达法则是什么，用来解决什么问题，就生搬硬套，记住遇到 或者 就分子分母分别求导，直到能算出具体的值，二是现在很多的题目设置已经开始让分离后的新函数无法简单的通过导数求出单调性，也就不能说明为什么最值会在开区间那个点处取到，也许记住洛必达法则能够得到答案，但大题中解题过程非常的重要，洛必达法则真的能保证得满分吗？这貌似也不符合学生的认知规律，我们需要通过这样的题培养分类讨论，推理论证的数学思想，提高综合能力，为我们进入大学学习高等数学奠定良好的数学基础。下面我们通过几个模考例题来谈谈这类题目的解题过程及规律。 例1、(2017南京三模)已知 ，函数 的导函数为 ． （1） 求曲线 在 处的切线方程； （2）若函数 存在极值，求 的取值范围； （3）若 时， 恒成立，求 的最大值． 解：（1）因为 ， 所以曲线 在 处的切线的斜率为 ， 又切点为 ，所以切线方程为 ． （2） ， ． 当 时， 恒成立，从而 在 上单调递增， 故此时 无极值． 当 时，设 ，则 恒成立， 所以 在 上单调递增． ①当 时， 且 )是 上的连续函数， 因此存在唯一的